AP 物理 C：力学AP Physics C: Mechanics

一句话定位： 微积分版大学一年级力学——牛顿运动、能量、动量、转动、振动与引力；核心能力是把一个物理情境翻译成微分方程或积分并解出来，再用图像和实验数据反过来验证。 · 难度： ★★★（概念量不大，但对微积分与建模的要求是理科 AP 里最高的一档）· 适合谁： 目标工科 / 物理 / 计算机专业、已学或正在同步学微积分的学生；学过 AP Physics 1 的人整体提速约 1/4。 · 在三年自学课程里的位置： 科学 / 工程方向的 Year 2 骨架 AP（与 Calc BC 同年，同年其他 ★★★ 科目需错开，见第 9 节）；软件 / AI 方向 Year 3 可选；它是 AP-2.4 电磁学的硬前置。 · 大陆可考： ✅ 纯考试、无作品任务。 · 自学时长： 120–180 小时：19 个单元周（每周 6–9 小时）+ 5 周考前冲刺，另有 3 周预备。

0. 课程卡片

1. 这门课对自学者意味着什么

定位与难点。 这门课的难点不是概念多，而是建模：同一个"力不恒定"的情境，你要能写出 $m\frac{dv}{dt}=mg-bv$ 并分离变量解出 $v(t)$，再用 $t\to \infty$ 检查结果；同一个转动系统，你要能用 $I=\int r^{2}dm$ 算出转动惯量。考试按三大科学实践出题：创建表征（受力图、能量柱状图、图像）、数学推演（从基本定律推导）、科学提问与论证（实验设计、"justify"）。国内训练出来的学生普遍实践 2 强、实践 1 与 3 弱——受力图潦草、论证只写结论不写理由，是 4 分与 5 分的分水岭。阅读量不大（英文题干句长但词汇固定），写作量小但要求"主张 → 证据 → 物理推理"。时间投向建议：纸笔推导 50%、限时 FRQ 20%、实验与数据 15%、选择题 15%。

自学者特有的三个失败点（前两条来自评分行，第三条来自 AP 大纲高频失分点第 1 位）：

1. 微积分与物理同步开，导致两边都不稳。 AP 微积分课把分离变量放在 Unit 7 Differential Equations（按常规进度在学年后半），而本课 CM-2.9 的阻力方程 10 月就要用——所以 AP 大纲把"导数 + 基本积分 + 分离变量"单列为硬前置，不能等微积分课教到。对策：第 2–3 周的"微积分工具包"先把导数、基本积分、分离变量用物理的写法教掉，小测全对才开 Unit 1；物理进度永远不超过工具包。
2. 实验 FRQ 不会写"如何减小误差"。 自学者没摸过实验室器材，误差分析只会写"人为误差"。对策：7 个家庭实验，每份报告必须有"系统误差 / 随机误差各一条 + 对结果偏大还是偏小 + 一个具体改进"的段落；每学期一次 15 分钟实验口试。
3. "推导（derive）"题直接写记忆中的结论。 例如直接写 $T=2\pi \sqrt{L/g}$，推导分全丢。对策：每道推导第一行必须是基本定律（$\sum F=ma$、$\sum \tau =I\alpha$、能量或动量守恒）的符号式，闸门里没有这一行按错处理。

什么时候该推迟或放弃（止损线）。

• 推迟一年的硬线： 4 月全真 #2、#3 两次都不到 85%（第 6 节）——报名费损失，成绩单不损失。
• 换年的止损线： 第 3 周"微积分工具包"小测两次不过 → 本年不开 Physics C，把物理时间换成 AP-2.1 Physics 1 或纯微积分，等微积分学到积分的那一年再开；Unit 2 闸门两次不过且错题集中在"列不出微分方程"→ 暂停 2 周回 Calc AB Unit 6–7。
• 不该放弃的假信号： Unit 5 第一周算转动惯量积分吃力、Unit 6 角动量守恒条件判断反复出错，都是全课最难的区域的正常反应，不要在这里换课。

2. 先修诊断（10 题）

第 1 周做，闭卷、纸笔、限时 45 分钟，可用计算器。

判定与补洞路径。

• 9–10 题对： 直接开课；第 2–3 周的工具包压成 1 周，省下的 1 周加到 Unit 5。
• 6–8 题对： 错在 1–4（微积分）→ 2 周补 OpenStax Calculus Vol.1 §3.1–3.6（导数）、§5.1–5.5（积分与换元）、Vol.2 §4.3（分离变量），每节做章末题 10 道；错在 5–7（向量三角）→ 1 周补 OpenStax University Physics Vol.1 第 2 章 Vectors；错在 8–9（物理概念）→ 2 周复习 OpenStax College Physics for AP Courses 2e 第 2–8 章的章末概念题，或 AP-2.1 Physics 1 大纲的 Unit 1–4。
• ≤ 5 题对： 本年不开本课，先学 Calc AB 到 Unit 6 或先修 Physics 1。
• 第 10 题不过： 附录 C 术语表 + 每天读 2 道官方 FRQ 题干并中文复述，1 周。

3. 资源栈

国内替代与离线策略。

• 第 1 周做"资源连通性自检"：CED 下载、past-exam-questions 页、OpenStax 在线阅读、PhET 打开、AP Classroom 视频播放、Bluebook 加载、B 站搬运是否还在。结果记进档案，不通的换成表里的【替】行。
• 离线包（本地 + 外置盘 + 云盘，3-2-1 备份）：CED、公式表、全部能下载的历年 FRQ 与评分标准、OpenStax University Physics Vol.1 与 Calculus Vol.1–2 的 PDF、MIT 8.01SC 讲义。下完之后本课 85% 的内容可断网推进。
• 视频一律不作主线。OpenStax + 官方 FRQ + 纸笔是主线，视频只在卡壳时点开对应的一段。

明确不用的资源及原因。

• AP Classroom 的 Personal Progress Check 与题库： 只有教师布置后才能打开，exam-only 学生基本用不到，不把复习计划建在上面。
• 2024 年及以前出版的备考书： 按 90 分钟旧格式（35 题 MCQ / 45 分钟 + 3 道 FRQ / 45 分钟）与旧单元编号编写，计时与题型都对不上。
• 国内高考物理的"二级结论"速记手册： 它训练的是"跳过推导直接写结论"，恰好是本课推导题的扣分源。
• 网上流传的"真题合集"压缩包、网盘扫描教材： 多为盗版且新旧格式混杂，本课不使用、不推荐。
• AI 现编的"模拟真题"： 可用于日常变式练习（L3），不得用于毕业模考。

4. 单元学习路线

全课屏幕 / 离屏比例约 3 : 7：推导、受力图、FRQ 一律纸笔完成；屏幕时间只用于读 OpenStax、PhET、仿真代码与视频补丁。每 30–40 分钟离开书桌休息 10 分钟（远眺 + 起身），单次纸笔推导不超过 90 分钟。每个知识点微关 8–12 题全对才过；★★★ 知识点允许首轮 ≥ 70% 放行，但必须在毕业测试前补到全对（记进"★★★ 欠账表"）。所有单元闸门的通用规则：单元结束 48 小时后再考；闭卷限时，得分 ≥ 80% 是总纲底线，本课按 AP 大纲执行更严的"全对"标准——错 1 题回看对应知识点、做备用变式当场补过；错 ≥ 2 题（或低于 80%）本单元重学，冷却 48 小时后换卷；两次不过 → 冷却 48 小时 + 错题重学 + 换卷。闸门全程 L1 禁 AI，录屏。

Unit 1 · Kinematics / 运动学（占比 10–15%，第 4–5 周，约 12 小时）

知识点清单（沿用 AP 大纲编码，★ 为难度）

• CM-1.1 一维标量与矢量、位移与路程、平均与瞬时量 ★
• CM-1.2 位移、速度、加速度的导数与积分关系 $v=\frac{dx}{dt}$、$a=\frac{dv}{dt}$、$x=\int vdt$ ★★
• CM-1.3 匀变速公式组的推导与适用条件；$x$-$t$、$v$-$t$、$a$-$t$ 图像的斜率与面积互译 ★
• CM-1.4 参考系与相对运动、相对速度的矢量合成 ★★
• CM-1.5 二维运动与矢量分解：抛体、水平与竖直独立性、轨迹方程、斜面上的抛体 ★★
• CM-1.6 加速度随时间 / 位置变化时分离变量求 $v(t)$、$x(t)$；$a=v\frac{dv}{dx}$ 的用法 ★★★

学习活动（读 / 看 / 做；屏幕与离屏）

• 读（离屏 3 h）：OpenStax University Physics Vol.1 §3.1–3.6（§3.6 Finding Velocity and Displacement from Acceleration 是微积分核心）、§4.1–4.5；CED Unit 1 的 Learning Objectives 逐条打勾。
• 看（屏幕 1.5 h）：PhET Projectile Motion 探索 20 分钟（改变仰角记录射程，自己找出 45° 最远的条件）；卡壳时看 AP Videos 或 MIT 8.01SC 对应讲义。
• 做（离屏 6 h + 屏幕 1.5 h）：① 每个知识点 8–12 题微关；② 三条必会推导（由 $a=\frac{dv}{dt}$ 积分得匀变速三式；由 $a(v)$ 分离变量得 $v(t)$；抛体射程与最大高度）在白纸上各推 2 遍；③ OpenStax 第 3、4 章章末题各 8 道；④ 家庭实验 #1（第 5 节）。

本单元产出： ① 三张"推导卡"（正面写题、背面写从 $a=\frac{dv}{dt}$ 起笔的完整推导），录入 Anki。 ② 20 道微积分运动学题解，每题第一行写所用关系式。 ③ 家庭实验 #1 报告：斜面小车 $x$-$t$ 数据 → 画 $x$ 对 $t^2$ → 斜率求 $a$。

微关示例题（附答案要点）

1. 【CM-1.2】 质点 $a(t)=6t$（m/s²），$v(0)=2$ m/s，$x(0)=0$。求 $v(t)$、$x(t)$ 与 $t=2$ s 时的位置。 答案要点： $v=2+3t^2$，$x=2t+t^3$，$x(2)=12$ m。$a$ 不恒定，匀变速公式不能用。
2. 【CM-1.3】 $v(t)=3-t$（m/s），求 0–6 s 内的位移与路程。 答案要点： 位移 ${\int }_0^6(3-t)dt=0$；路程是两个三角形面积之和 $4.5+4.5=9$ m。$v$-$t$ 图下面积带正负号。
3. 【CM-1.6】 $a=-k{v}^2$（$k>0$），初速 $v_0$，从 $x=0$ 出发。分别求 $v(x)$ 与 $v(t)$。 答案要点： 用 $a=v\frac{dv}{dx}$：$\frac{dv}{v}=-kdx$，$v=v_0{e}^{-kx}$；用 $\frac{dv}{dt}$：$-\frac{dv}{v^2}=kdt$，$v=\frac{v_0}{1+k{v}_{0}t}$。两条路线的选择取决于题目问的是"位置"还是"时间"。
4. 【CM-1.5】 从地面以速率 $v_0$、仰角 θ 抛出，推导射程与最大高度；最高点速度是多少？ 答案要点： $R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$，$H=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}$；最高点速度是 $v_0\cos \theta$，只有竖直分量为零。

易错与陷阱

• 把匀变速公式套到 $a$ 随时间变化的题上。
• $v$-$t$ 图下"面积"忘了带正负号，把位移当路程。
• 认为抛体"最高点速度为零"。
• 分离变量后忘记代初值定常数，或积分上下限与变量不对应。

AI 导师用法（可直接复制的提示词）

你是我的 AP Physics C: Mechanics 导师。规则：只提示、不给答案；在我说"给答案"之前，不写出任何最终表达式或数值。
请按 AP 大纲知识点 CM-1.2 与 CM-1.6 出 6 道题：3 道给 a(t) 或 v(t) 求 x(t)；2 道给 a(v) 或 a(x)，必须用分离变量或 a = v dv/dx；1 道 v–t 图含负面积。
我每做完一题，会发"第一行所用关系式 + 积分过程 + 初值代入"。你只做两件事：指出第一处出错的行，并用一个反问让我自己改；不要替我改。
全部做完后，按"关系式选错 / 积分错 / 初值条件错 / 单位错"统计我的错误类型。

🚪 Unit 1 闸门（第 6 周，单元结束 48 小时后）

• 闭卷限时 40 分钟：12 道选择题（含 2 道陷阱题）+ 1 道"从 $a=\frac{dv}{dt}$ 起笔"的推导题 + 1 道线性化题（给 5 组 $x$ 与 $t$ 数据，画 $x$ 对 $t^2$ 求 $a$）。
• 费曼讲解 2 分钟（对小队或家长）："位置、速度、加速度为什么是一串导数 / 积分关系；匀变速公式什么时候不能用。"
• 白纸默写：匀变速三式及其推导起点。

Unit 2 · Force and Translational Dynamics / 力与平动动力学（占比 20–25%，第 6–9 周，约 26 小时）

全课的脊柱：占比最高，后面每个单元都在"换一种形式重写牛顿第二定律"。第 8 周专攻阻力微分方程与圆周运动。

知识点清单

• CM-2.1 系统与质心：${\vec{r}}_{cm}=\frac{\sum m_i{\vec{r}}_i}{\sum m_i}$、连续体质心的积分、质心运动只由外力决定 ★★
• CM-2.2 力的分类、受力图规范画法、力的分解与合成 ★
• CM-2.3 牛顿第三定律：作用力—反作用力作用于不同物体；与"平衡力"混淆的陷阱 ★
• CM-2.4 牛顿第一定律与平衡态、惯性参考系 ★
• CM-2.5 牛顿第二定律：多物体系统、绳—滑轮约束、斜面、接触力系统的联立 ★★
• CM-2.6 引力：$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$、重力加速度随高度变化、引力质量与惯性质量 ★★
• CM-2.7 静摩擦与动摩擦：$f_s\le {\mu }_{s}N$ 的"不等式"本质、临界判断、车轮上的静摩擦 ★★
• CM-2.8 弹簧力 $F=-kx$、串并联弹簧的等效劲度系数 ★
• CM-2.9 阻力与终端速度：$F=-bv$ 或 $F=-c{v}^2$，写出 $m\frac{dv}{dt}=mg-bv$ 并分离变量求解 ★★★
• CM-2.10 圆周运动：$a_c=\frac{v^2}{r}$、"向心力"不是一种新力、竖直圆周临界速度、锥摆、弯道倾角 ★★
• CM-2.11 非匀速圆周与切向加速度、极坐标下加速度的径向 / 切向分解 ★★★
• CM-2.12 力随位置 / 时间变化：$F(t)$ 直接积分、$F(x)$ 用 $a=v\frac{dv}{dx}$ 或转能量法；加速参考系中的视重 ★★

学习活动

• 读（离屏 7 h）：OpenStax Vol.1 第 5 章（§5.7 Drawing Free-Body Diagrams 精读）、第 6 章（§6.4 Drag Force and Terminal Speed 是 CM-2.9 的核心）、§9.6 Center of Mass、§13.1–13.2；Calculus Vol.1 §6.6 质心积分。
• 看（屏幕 3 h）：PhET Forces and Motion: Basics（摩擦与合力）15 分钟；MIT 8.01SC 讲义中阻力与圆周运动两节。
• 做（离屏 13 h + 屏幕 3 h）：① 微关 12 组；② 每天画 2 张规范受力图（物体画成点，每个力一支从点出发的箭头，标注"施力物体 + 力的名称"，不画分量、不画 $ma$）；③ 必会推导 3 条（阻力 $v(t)$、竖直圆周最高点最小速度、两物体 + 滑轮的加速度与张力）；④ 用 Python 以欧拉法数值解 $m\frac{dv}{dt}=mg-bv$，与解析解画在同一张图上（仿真作品 #1）；⑤ 家庭实验 #2、#3、#4。

本单元产出： ① 受力图活页 40 张（按知识点编号归档）。 ② 仿真作品 #1：drag.py + 一张"解析解 vs 数值解"对比图 + 3 行 README，推到 Gitee。 ③ 家庭实验 #2（弹簧 $k$）、#3（静摩擦系数）、#4（咖啡滤纸终端速度）三份报告。

微关示例题

1. 【CM-2.9】 质量 m 的物体从静止下落，受阻力 $-bv$。推导 $v(t)$、终端速度，并自查。 答案要点： $m\frac{dv}{dt}=mg-bv$ → ${\int }_0^v\frac{dv}{mg-bv}={\int }_0^t\frac{dt}{m}$ → $v(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})$；$v_t=\frac{mg}{b}$；自查：$t=0$ 时 $v=0$，$t\to \infty$ 趋于 $v_t$，$t=m/b$ 时约 $0.63v_t$。
2. 【CM-2.7】 2 kg 木块在水平面上，${\mu }_s=0.5$，${\mu }_k=0.3$，受水平推力 6 N。摩擦力多大？ 答案要点： 最大静摩擦 $0.5\times 2\times 9.8=9.8$ N > 6 N，木块不动，静摩擦 = 6 N，不是 9.8 N，也不是动摩擦 5.9 N。
3. 【CM-2.10】 长 R 的轻绳系小球做竖直圆周运动，推导最高点的最小速率。 答案要点： 最高点 $T+mg=\frac{m{v}^2}{R}$，$T\ge 0$ → $v\ge \sqrt{gR}$。受力图里只有 $T$ 与 $mg$，没有"向心力"。
4. 【CM-2.1】 长 L 的细杆线密度 $\lambda (x)={\lambda }_0\frac{x}{L}$，求质心位置。 答案要点： $x_{cm}=\frac{{\int }_0^{L}x\lambda dx}{{\int }_0^L\lambda dx}=\frac{{\lambda }_0{L}^2/3}{{\lambda }_{0}L/2}=\frac{2L}{3}$，偏向密度大的一端。
5. 【CM-2.11】 汽车在半径 50 m 的圆形跑道上，速率 10 m/s 且每秒增加 2 m/s。求加速度大小。 答案要点： $a_c=100/50=2$ m/s²，$a_t=2$ m/s²，$a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}\approx 2.83$ m/s²。

易错与陷阱

• 受力图里画"向心力""离心力"，或把 $ma$ 当成力画上去。
• 静摩擦一律写成 ${\mu }_{s}N$（只在临界时取等）；摩擦力方向凭感觉猜。
• 阻力题 $v(t)$ 指数式的符号与初值写反，得出的 $v(t)$ 在 $t\to \infty$ 不趋于终端速度却不自查。
• 牛顿第三定律的一对力画在同一个物体上。

AI 导师用法

你是我的 AP Physics C 力学教练，只提示不给答案。
我要练 CM-2.9 与 CM-2.12：请给我 4 个"力随速度或位置变化"的情境（如 F = -bv、F = -cv²、F(x) = -kx³、竖直上抛受线性阻力），每题只问"写出 ΣF = ma 的微分方程并求 v(t) 或 v(x)"。
规则：我必须先交一张文字版受力图（列出每个力的名称、施力物体、方向），你先只判受力图对不对；受力图对了我才写方程。
我写完解后，你只让我做两个自查：t→∞（或 x→∞）的极限是否合理、t=0 是否满足初值；不要直接告诉我哪里错。

🚪 Unit 2 闸门（第 10 周）

• 闭卷限时 60 分钟：18 道选择题（含受力图判断与静摩擦陷阱）+ 1 道从 $\sum F=ma$ 起笔的阻力推导 + 1 道线性化题（终端速度 $v_t^2$ 对质量 m，由斜率判断阻力与 $v^2$ 成正比）+ 1 道画受力图题（按 AP 规范评分）。
• 费曼讲解 2 分钟："质心的运动为什么只由外力决定（外力为零时质心速度不变）；静摩擦为什么是一个不等式。"
• 白纸默画：斜面、滑轮、竖直圆周最高点、锥摆、电梯五张规范受力图。

Unit 3 · Work, Energy, and Power / 功、能与功率（占比 15–25%，第 10–12 周，约 18 小时）

功是力沿路径的线积分，势能是保守力的"反导数"。第 11 周整周给势能曲线。

知识点清单

• CM-3.1 平动动能 $K=\frac{1}{2}m{v}^2$、功—能定理 ★
• CM-3.2 功的定义 $W=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$：变力做功、$F$-$x$ 图下面积、正负功判断 ★★
• CM-3.3 势能与保守力：$\Delta U=-\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$、$F_x=-\frac{dU}{dx}$、$U=-\frac{GMm}{r}$、弹性势能 ★★
• CM-3.4 能量守恒与非保守力：$\Delta K+\Delta U=W_{nc}$、系统边界的选择、摩擦生热 ★★
• CM-3.5 势能曲线分析：平衡点、稳定 / 不稳定平衡、转折点、由 $U(x)$ 图读力与运动范围 ★★★
• CM-3.6 功率 $P=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}$、平均与瞬时功率 ★
• CM-3.7 能量法 vs 动力学法的选择；多段过程（斜面 + 弹簧 + 摩擦）的分段守恒式 ★★

学习活动

• 读（离屏 5 h）：OpenStax Vol.1 第 7 章、第 8 章（§8.4 Potential Energy Diagrams and Stability 精读）、§13.3；Calculus Vol.1 §6.5 Physical Applications（变力做功）。
• 看（屏幕 2 h）：PhET Energy Skate Park（打开摩擦前后对比能量柱状图）；卡壳时看 AP Videos。
• 做（离屏 9 h + 屏幕 2 h）：① 微关 7 组；② 每道能量题第一行写"系统 = { }，外力 = { }"；③ 画 10 张能量柱状图（energy bar chart）；④ 必会推导 3 条（由 $U(x)$ 求平衡点与稳定性、由 $U=-\frac{GMm}{r}$ 推逃逸速度、弹簧—斜面—摩擦多段过程末速度）。

本单元产出： ① 势能曲线分析手稿 6 份：每份从 $U(x)$ 画出 $F(x)$，标平衡点、稳定性与给定总能量下的转折点。 ② 能量柱状图 10 张 + "系统边界"说明。 ③ 一页"能量法 vs 牛顿法选择表"：求速度 / 位置用能量，求加速度 / 力 / 时间回到牛顿定律。

微关示例题

1. 【CM-3.5】 $U(x)=x^3-3x$（SI）。求力、平衡点及其稳定性。 答案要点： $F=-\frac{dU}{dx}=3-3x^2$；$F=0$ 得 $x=\pm 1$；$U^{\prime \prime }=6x$：$x=1$ 处 $U^{\prime \prime }>0$ 稳定，$x=-1$ 处 $U^{\prime \prime }<0$ 不稳定。
2. 【CM-3.3】 用能量推导地面逃逸速度。 答案要点： $\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}=0$（恰好到无穷远速度为零）→ $v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$。势能零点在无穷远，必须说明。
3. 【CM-3.2】 非线性弹簧 $F=-kx-\beta x^3$，把它从 $x=0$ 缓慢拉到 $x=A$，外力做功多少？ 答案要点： $W_{外}={\int }_0^A(kx+\beta x^3)dx=\frac{1}{2}k{A}^2+\frac{1}{4}\beta A^4$；弹簧力做功是其相反数。变力不能用 $W=Fd\cos \theta$。
4. 【CM-3.7】 物块从高 h 的光滑斜面滑下，经过长 d、动摩擦因数 ${\mu }_k$ 的粗糙水平段，再压缩光滑段上劲度 k 的弹簧。求最大压缩量。 答案要点： 系统 = 物块 + 弹簧 + 地球：$mgh-{\mu }_{k}mgd=\frac{1}{2}k{x}^2$ → $x=\sqrt{\frac{2mg(h-{\mu }_{k}d)}{k}}$（要求 $h>{\mu }_{k}d$）。已经写了弹性势能就不能再写弹簧力做功。

易错与陷阱

• 把 $W=Fd\cos \theta$ 用在变力上。
• 势能与力的关系少了负号。
• 能量守恒式里同时写"弹簧力做功"和"弹性势能"，或同时写"重力做功"和"重力势能"，重复计算。
• 引力势能零点不说明，逃逸速度推导里符号混乱。

AI 导师用法

你是我的 AP Physics C 出题官与批改员，只提示不给答案。
请围绕 CM-3.3 与 CM-3.5 出 5 个 U(x) 函数（多项式或含 1/x 项），每个问：平衡点在哪、哪个稳定、给定总能量 E 时运动范围（转折点）是什么。
我会按"F = -dU/dx → 令 F = 0 → 看 U'' 的符号 → 画 E 的水平线找交点"四步作答。
你只检查每一步的结论，错了只说"第几步有问题"并反问一句，不给正确数值；最后让我用两句话口述"为什么 U 的极小点是稳定平衡"。

🚪 Unit 3 闸门（第 13 周）

• 闭卷限时 50 分钟：15 道选择题 + 1 道势能曲线推导题 + 1 道多段过程能量题（必须先写系统边界）+ 1 道线性化题（弹簧弹出物块后在粗糙地面上滑行：滑行距离 d 对压缩量 $x^2$，斜率 $=\frac{k}{2{\mu }_{k}mg}$）。
• 费曼讲解 2 分钟："机械能在什么条件下守恒；选不同的系统边界时，同一个过程的能量式怎么变。"

Unit 4 · Linear Momentum / 线动量（占比 10–20%，第 13–14 周，约 12 小时）

冲量是力对时间的积分；守恒的前提是"外力冲量为零"。本单元闸门后接 12 月阶段模考。

知识点清单

• CM-4.1 线动量 $\vec{p}=m\vec{v}$、系统总动量与质心速度 ${\vec{p}}_{sys}=M{\vec{v}}_{cm}$ ★
• CM-4.2 冲量—动量定理 $\vec{J}=\int \vec{F}dt=\Delta \vec{p}$、$F$-$t$ 图下面积、平均力 ★★
• CM-4.3 动量守恒的条件与二维动量守恒的分量处理 ★★
• CM-4.4 弹性与非弹性碰撞：完全非弹性碰撞、一维弹性碰撞速度公式推导、动能损失 ★★
• CM-4.5 变质量与爆炸 / 反冲问题、质心参考系下的碰撞分析 ★★★

学习活动

• 读（离屏 4 h）：OpenStax Vol.1 第 9 章（§9.1–9.5、§9.7 Rocket Propulsion 只读思路）。
• 看（屏幕 1 h）：PhET Collision Lab：设弹性系数为 1 与 0，各记录 5 组碰前碰后速度，自己验证动量守恒。
• 做（离屏 6 h + 屏幕 1 h）：① 微关 5 组；② 每题第一行写"系统 = { }，碰撞期间外力冲量是否可忽略"；③ 必会推导（一维弹性碰撞末速度、弹道摆两阶段、由 $F(t)$ 积分得 $\Delta p$）；④ 家庭实验 #5。

本单元产出： ① 碰撞分析 12 题（弹性 / 完全非弹性 / 二维 / 弹道摆各 3 题），每题附动能前后对比。 ② 家庭实验 #5 报告：两辆玩具车碰撞，手机视频读碰前碰后速度，计算动量与动能的变化百分比。

微关示例题

1. 【CM-4.2】 静止的 2 kg 物体受 $F(t)=12t-3t^2$（N）作用 4 s。求末速度。 答案要点： $J={\int }_0^4(12t-3t^2)dt=[6t^2-t^3{]}_0^4=32$ N·s，$v=16$ m/s。
2. 【CM-4.4】 1 kg、6 m/s 的球与静止的 2 kg 球发生一维弹性碰撞。求碰后速度并验证。 答案要点： $v_1^{\prime }=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}{v}_1=-2$ m/s，$v_2^{\prime }=\frac{2m_1}{m_1+m_2}{v}_1=4$ m/s；动量 $6=-2+8$，动能 $18=2+16$ J。
3. 【CM-4.4】 弹道摆：10 g 子弹射入 0.99 kg 木块后一起上升 0.20 m。求子弹初速与动能损失比例。 答案要点： 上摆阶段能量守恒 $V=\sqrt{2gh}\approx 1.98$ m/s；碰撞阶段动量守恒 $v=\frac{m+M}{m}V\approx 198$ m/s；损失比例 $\frac{M}{m+M}=99\%$。两阶段不能合成一个守恒式。
4. 【CM-4.3】 1 kg 球以 4 m/s 向东撞静止的 1 kg 球，碰后第一球以 2 m/s 沿东偏北 60° 运动。求第二球速度，碰撞是否弹性？ 答案要点： x：$4=1+v_{2x}$ → 3；y：$0=\sqrt{3}+v_{2y}$ → $-\sqrt{3}$；$v_2\approx 3.46$ m/s，东偏南 30°；动能 8 J = 2 + 6 J，弹性（等质量弹性碰撞后两速度垂直）。

易错与陷阱

• 碰撞中默认动能守恒（只有弹性碰撞才守恒）。
• 动量守恒写成标量式忘了方向；二维题不分量。
• 弹道摆把碰撞与上摆混在一个守恒式里。
• 冲量符号用了国内教材的 I——在 AP 答卷里 I 是转动惯量，冲量用 J。

AI 导师用法

你是我的 AP Physics C 动量单元导师，只提示不给答案。
请出 6 道碰撞 / 冲量题，覆盖 CM-4.2 的 F(t) 积分、CM-4.4 的弹性与完全非弹性碰撞、弹道摆两阶段、CM-4.3 的二维分量。
每题我必须先写一行"系统 = {我选的物体}；碰撞期间外力冲量能否忽略；所以守恒的是某某量"，再列式。
你先只检查这一行；这一行错了就不要看后面的计算，直接反问我"碰撞期间有哪些外力，它们作用多久"。
全部做完后告诉我：哪几题我把碰撞过程与上摆 / 滑行过程混进了同一个守恒式。

🚪 Unit 4 闸门（第 15 周周初）

• 闭卷限时 40 分钟：12 道选择题 + 1 道弹道摆推导（分两阶段，写出每段的守恒量与理由）+ 1 道线性化题（完全非弹性碰撞：改变被撞车质量 $m_2$，由 $\frac{1}{v_f}=\frac{1}{v_0}+\frac{m_2}{m_1{v}_0}$ 画 $1/v_f$ 对 $m_2$，从截距与斜率求 $v_0$ 与 $m_1$）。
• 费曼讲解 2 分钟："动量守恒与动能守恒的条件各是什么；为什么完全非弹性碰撞损失的动能最多。"

Unit 5 · Torque and Rotational Dynamics / 力矩与转动动力学（占比 10–15%，第 16–18 周，约 19 小时）

把平动的每个量换成转动对应量。第 17 周整周给转动惯量积分（★★★）。

知识点清单

• CM-5.1 转动运动学：角位移、角速度、角加速度及其导数关系、匀角加速公式 ★
• CM-5.2 线量与角量的联系 $v=r\omega$、$a_t=r\alpha$、$a_c=r{\omega }^2$ ★
• CM-5.3 力矩 $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$、力臂、叉乘方向与右手定则 ★★
• CM-5.4 转动惯量 $I=\sum m_i{r}_i^2=\int r^{2}dm$：杆、环、盘、球的积分；平行轴定理 $I=I_{cm}+M{d}^2$ ★★★
• CM-5.5 转动平衡：静力学平衡题（靠墙斜梯、横梁、铰链）★★
• CM-5.6 转动形式的牛顿第二定律 $\sum \tau =I\alpha$：有质量的定滑轮、Atwood 机、轮轴系统 ★★
• CM-5.7 力矩随角度变化的转动（如从水平释放的杆）：$\alpha$ 不恒定，用 $\tau (\theta )=I\alpha$ 求瞬时量、用能量法求 $\omega$ ★★★

学习活动

• 读（离屏 6 h）：OpenStax Vol.1 第 10 章（§10.5 Calculating Moments of Inertia、§10.6 Torque、§10.7 Newton's Second Law for Rotation 精读）、第 12 章 §12.1–12.2。
• 看（屏幕 2 h）：PhET Balancing Act（力矩平衡，做完"游戏"模式 3 关）；MIT 8.01SC 转动惯量讲义。
• 做（离屏 9 h + 屏幕 2 h）：① 微关 7 组；② 转动惯量积分 10 道，每道写三行：$dm$ 怎么换元（$\lambda dr$ 或 $\sigma dA$）、积分变量与上下限、结果；③ 静力学平衡 6 道（先选对力矩最省事的转轴）；④ 必会推导（均匀杆绕端点 $\frac{1}{3}M{L}^2$、圆盘 $\frac{1}{2}M{R}^2$、有质量滑轮 Atwood 机 $a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2+I/R^2}$）。

本单元产出： ① 转动惯量积分手稿 10 份 + 平行轴定理验证 3 份。 ② "平动—转动对照表"手写版（$x\leftrightarrow \theta$、$m\leftrightarrow I$、$F\leftrightarrow \tau$、$p\leftrightarrow L$、$K$ 的两种形式、各自的定律与守恒条件），是本单元后加的默写关的底稿。

微关示例题

1. 【CM-5.4】 用积分求均匀细杆（质量 M、长 L）绕端点的转动惯量，再用平行轴定理求绕中点的转动惯量。 答案要点： $I_{端}={\int }_0^L{x}^2\frac{M}{L}dx=\frac{1}{3}M{L}^2$；$I_{cm}=\frac{1}{3}M{L}^2-M(\frac{L}{2}{)}^2=\frac{1}{12}M{L}^2$。平行轴定理的一根轴必须过质心。
2. 【CM-5.6】 有质量滑轮的 Atwood 机：$m_1=3$ kg、$m_2=1$ kg，滑轮为 2 kg 的均匀圆盘。求加速度与两侧张力。 答案要点： $\frac{I}{R^2}=1$ kg，$a=\frac{(3-1)(9.8)}{3+1+1}=3.92$ m/s²；$T_1=m_1(g-a)=17.64$ N，$T_2=m_2(g+a)=13.72$ N，两侧张力不相等，差值提供滑轮的力矩。
3. 【CM-5.7】 均匀杆一端铰接，从水平位置静止释放。求释放瞬间的角加速度、杆端的切向加速度，以及转到竖直时的角速度。 答案要点： ${\alpha }_0=\frac{Mg(L/2)}{M{L}^2/3}=\frac{3g}{2L}$；杆端 $a_t=\frac{3}{2}g>g$；竖直时能量守恒 $Mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}M{L}^2{\omega }^2$ → $\omega =\sqrt{\frac{3g}{L}}$。$\alpha$ 随角度变化，不能用匀角加速公式。
4. 【CM-5.5】 均匀靠墙斜梯（质量 m、长 L），墙面光滑，地面静摩擦因数 μ。求不滑倒的最小倾角。 答案要点： 以底端为轴：$N_{墙}L\sin \theta =mg\frac{L}{2}\cos \theta$ → $N_{墙}=\frac{mg}{2\tan \theta }$；$f=N_{墙}\le \mu mg$ → $\tan {\theta }_{min}=\frac{1}{2\mu }$。

易错与陷阱

• 有质量滑轮两侧绳子张力仍写成相等。
• 转动惯量积分时 $dm$ 没换成 $\lambda dr$ 或 $\sigma dA$；$r$ 用成到质心而不是到转轴的距离。
• 平行轴定理用成"任意两轴之间"（必须有一轴过质心）。
• 力矩方向不用叉乘，凭"顺时针 / 逆时针"感觉定正负后前后不一致。

AI 导师用法

你是我的 AP Physics C 转动单元导师，只提示不给答案。
请按 CM-5.4 出 5 道转动惯量积分题：均匀杆绕端点、均匀杆绕距端点 L/4 的轴、细圆环、薄圆盘、线密度 λ = λ0·x/L 的非均匀杆。
每题我写三行：dm 用什么换元（λ dr 或 σ dA）、积分变量与上下限、积分结果；然后用平行轴定理验证其中两题。
你只判断每一行对错，错的行只给一句提示（例如"你的 r 是到哪根轴的距离？"），不给结果。

🚪 Unit 5 闸门（第 19 周）+ 平动—转动对照表默写关

• 闭卷限时 50 分钟：14 道选择题 + 1 道转动惯量积分推导 + 1 道有质量滑轮联立题 + 1 道线性化题（绕在半径 R 滑轮上的绳挂质量 m，测角加速度 α：由 $\frac{1}{\alpha }=\frac{I}{gR}\cdot \frac{1}{m}+\frac{R}{g}$ 画 $1/\alpha$ 对 $1/m$，由斜率求滑轮转动惯量 I）。
• 费曼讲解 2 分钟："为什么有质量的滑轮两侧张力不同；转动惯量为什么取决于转轴。"
• 默写关（AP 大纲规定，写不全不进 Unit 6）： 白纸写出 $x\leftrightarrow \theta$、$m\leftrightarrow I$、$F\leftrightarrow \tau$、$p\leftrightarrow L$、$K$ 的两种形式，以及每一行的定律与守恒条件。

Unit 6 · Energy and Momentum of Rotating Systems / 转动系统的能量与动量（占比 10–15%，第 19–21 周，约 19 小时）

滚动 = 质心平动 + 绕质心转动；角动量守恒是本单元最值钱的工具，也是全课掉分最多的地方。

知识点清单

• CM-6.1 转动动能 $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$、总动能 $=\frac{1}{2}M{v}_{cm}^2+\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }^2$ ★★
• CM-6.2 力矩做功 $W=\int \tau d\theta$、转动功率 $P=\tau \omega$ ★★
• CM-6.3 角动量 $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$（质点）与 $L=I\omega$（刚体）、角冲量 $\int \tau dt=\Delta L$ ★★
• CM-6.4 角动量守恒：外力矩为零的判断、转台—人、滑冰者收臂、质点撞杆 ★★★
• CM-6.5 滚动：无滑滚动约束 $v_{cm}=R\omega$、斜面滚动加速度、静摩擦的作用、滚动 vs 滑动的能量对比 ★★★
• CM-6.6 轨道卫星：圆轨道速度与周期、开普勒定律、$E=-\frac{GMm}{2r}$、逃逸速度、椭圆轨道的角动量守恒 ★★

学习活动

• 读（离屏 6 h）：OpenStax Vol.1 第 11 章（§11.1 Rolling Motion、§11.3 Conservation of Angular Momentum）、§10.8、§13.4–13.5。
• 看（屏幕 2 h）：PhET Gravity and Orbits（改变初速观察圆 / 椭圆 / 逃逸三种轨道）。
• 做（离屏 9 h + 屏幕 2 h）：① 微关 6 组；② 每道角动量题先答两个判断：对哪根轴外力矩为零、机械能是否守恒；③ 必会推导（斜面无滑滚动 $a=\frac{g\sin \theta }{1+I/(M{R}^2)}$、圆轨道 $v=\sqrt{GM/r}$ 与 $T^2\propto r^3$、质点粘在杆上后的 $\omega$）；④ Python 仿真作品 #2：用数值积分画出一颗卫星的椭圆轨道，验证近日点与远日点的 $rv$ 相等；⑤ 家庭实验 #6。

本单元产出： ① "守恒量判断表"：20 个情境各写"动量 / 角动量 / 机械能"三个守恒与否及理由。 ② 仿真作品 #2：orbit.py + 轨道图 + 角动量守恒验证输出。 ③ 家庭实验 #6 报告：实心罐与空心罐滚下斜面的时间比较与 $a$ 的理论值对照。

微关示例题

1. 【CM-6.5】 实心球、实心圆柱、细圆环从同一斜面同高度无滑滚下，谁先到底？写出各自加速度。 答案要点： $a=\frac{g\sin \theta }{1+I/(M{R}^2)}$：实心球 $\frac{5}{7}g\sin \theta$、圆柱 $\frac{2}{3}g\sin \theta$、圆环 $\frac{1}{2}g\sin \theta$；球最先。静摩擦提供力矩但不做功（接触点瞬时静止）。
2. 【CM-6.4】 光滑水平桌面上，质量 M、长 L 的杆一端绕竖直轴自由转动；质量 m 的黏土以速率 v 垂直撞击杆的自由端并粘住。求撞后角速度。 答案要点： 对转轴角动量守恒：$mvL=(\frac{1}{3}M{L}^2+m{L}^2)\omega$ → $\omega =\frac{3mv}{(M+3m)L}$。转轴在碰撞中施加冲击力，线动量不守恒。
3. 【CM-6.4】 滑冰者转动惯量从 4 kg·m² 收臂到 1.6 kg·m²，初角速度 2 rad/s。求末角速度与动能变化。 答案要点： ${\omega }_2=5$ rad/s；动能从 8 J 增到 20 J，多出的 12 J 来自手臂肌肉做功——角动量守恒而机械能不守恒。
4. 【CM-6.6】 卫星从半径 r 的圆轨道升到 2r 的圆轨道，速率与总能量怎样变？椭圆轨道远日距是近日距的 3 倍，两处速率之比？ 答案要点： $v\propto r^{-1/2}$，速率降为原来的 $1/\sqrt{2}$；$E=-\frac{GMm}{2r}$ 变大（负得更少）——升轨要做正功但末速度更小。$v_p{r}_p=v_a{r}_a$ → $v_p=3v_a$。

易错与陷阱

• 认为无滑滚动中静摩擦做功。
• 质点撞杆用线动量守恒。
• 轨道总能量忘记负号，或把 $\frac{GMm}{r}$ 当成总能量。
• 角动量 $\vec{r}\times \vec{p}$ 取的参考点前后不一致。

AI 导师用法

你是我的 AP Physics C 出题官，只提示不给答案。
请出 5 道"质点撞杆 / 人在转台上走动 / 收臂 / 无滑滚动 / 椭圆轨道"题（CM-6.3 至 CM-6.6）。每题我先回答两个判断再计算：
① 过程中对哪根轴（或哪一点）外力矩为零，所以角动量是否守恒；② 机械能是否守恒，为什么。
你只评判这两个判断；判断错了就不要让我算，反问我"转轴对系统施加了什么力"；判断都对再让我算。
最后统计我"该用角动量却用了线动量"的次数。

🚪 Unit 6 闸门（第 22 周）

• 闭卷限时 50 分钟：14 道选择题 + 1 道质点撞杆推导（先写守恒判断）+ 1 道 QQT 型短题（先用文字论证"实心与空心谁先到底"，再推导验证）+ 1 道线性化题（$T^2$ 对 $r^3$，由斜率求中心天体质量）。
• 费曼讲解 2 分钟："角动量守恒的条件；为什么收臂会转快而动能增加。"

Unit 7 · Oscillations / 振动（占比 10–15%，第 22、24 周，第 23 周春节轻量，约 14 小时）

一切回复力 $\propto -x$ 的系统都是简谐运动；任务是把它写成 $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ 并读出 $\omega$。这是微分方程用得最狠、也是 FRQ 数学推演题的常客。

知识点清单

• CM-7.1 简谐运动的定义与判据：$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }^{2}x$、由受力分析导出振动方程 ★★
• CM-7.2 周期与频率：弹簧振子 $T=2\pi \sqrt{m/k}$、竖直弹簧、振幅与周期无关 ★
• CM-7.3 SHM 的表征：$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$、由初始条件定 $A$ 与 $\varphi$、$x$ / $v$ / $a$-$t$ 图像与相位关系 ★★
• CM-7.4 简谐振子的能量：$E=\frac{1}{2}k{A}^2$、动能与势能随位置 / 时间的变化图 ★★
• CM-7.5 单摆与复摆：小角近似、$T=2\pi \sqrt{L/g}$、复摆 $T=2\pi \sqrt{I/(mgd)}$ ★★★
• CM-7.6 由势能曲线极小点附近的二阶导数求小振动周期、振动数据线性化（$T^2$ 对 m 或 L）★★★

学习活动

• 读（离屏 4 h）：OpenStax Vol.1 第 15 章 §15.1–15.4（§15.5 阻尼振动只读概念）；Calculus Vol.3 §7.3 Applications 中弹簧振子一段（二阶方程"猜解再验证"的写法）。
• 看（屏幕 2 h）：PhET Masses and Springs、Pendulum Lab（测 5 个摆长的周期，生成虚拟数据先练一次线性化）。
• 做（离屏 6 h + 屏幕 2 h）：① 微关 6 组；② 必会推导（弹簧振子读出 $\omega$、单摆小角近似、复摆周期并验证 d 趋于摆长时退化为单摆）；③ 春节周（第 23 周）只做 SHM 三图相位的纸笔默画与家庭实验 #7 的数据采集；④ Python 仿真作品 #3：数值解大角度单摆，画"周期—振幅"曲线，看小角近似何时失效。

本单元产出： ① SHM 三图（$x$、$v$、$a$ 对 $t$）相位对照手稿 5 组。 ② 家庭实验 #7 报告：单摆 $T^2$ 对 L 求 g；复摆（打孔木尺）T 对悬点距离 d。 ③ 仿真作品 #3：pendulum.py + 周期—振幅图 + README 一句结论（振幅多大时误差超过 1%）。

微关示例题

1. 【CM-7.2】 0.5 kg 物体挂在 $k=200$ N/m 的竖直弹簧上。求平衡伸长量与振动周期。 答案要点： 平衡伸长 $\frac{mg}{k}=2.45$ cm；以平衡位置为原点仍满足 $\ddot{x}=-\frac{k}{m}x$，$T=2\pi \sqrt{m/k}\approx 0.314$ s，与 g 无关。
2. 【CM-7.3】 $\omega =20$ rad/s，$x(0)=0.03$ m，$v(0)=-0.4$ m/s，写成 $x=A\cos (\omega t+\varphi )$。 答案要点： $A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega {)}^2}\approx 0.036$ m；$\tan \varphi =-\frac{v_0}{\omega x_0}=\frac{2}{3}$，且 $\cos \varphi >0$、$\sin \varphi >0$ → $\varphi \approx +0.59$ rad。计算器必须在弧度制；用 $t=0$ 反代检查 $v(0)$ 的符号。
3. 【CM-7.5】 均匀杆（长 L）绕一端做小角摆动，求周期并与同长单摆比较。 答案要点： $T=2\pi \sqrt{\frac{M{L}^2/3}{Mg(L/2)}}=2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$，比同长单摆短（等效摆长 $\frac{2}{3}L$）；d 是转轴到质心的距离 $\frac{L}{2}$，不是杆长。
4. 【CM-7.6】 $U(x)=U_0[(\frac{x}{a}{)}^4-2(\frac{x}{a}{)}^2]$。求极小点附近的小振动周期（质量 m）。 答案要点： 极小点 $x=\pm a$；$U^{\prime \prime }(a)=\frac{8U_0}{a^2}$ 即等效劲度系数；$T=2\pi \sqrt{\frac{m{a}^2}{8U_0}}$。

易错与陷阱

• 复摆公式里 d 用成摆长而不是转轴到质心的距离。
• 把 SHM 的角频率 ω 与刚体角速度混为一谈。
• 相位 φ 取值搞反导致 $v(0)$ 符号错；计算器停在角度制。
• 竖直弹簧误以为周期与 g 有关。

AI 导师用法

你是我的 AP Physics C 振动单元导师，只提示不给答案。
请出 5 个"证明它是简谐运动并求周期"的情境：竖直弹簧、两根弹簧串联、两根弹簧并联、绕端点摆动的均匀杆、U(x) 极小点附近的小振动。
每题我必须按"受力或力矩 → 写成 d²x/dt² = -ω²x 的形式 → 读出 ω → T = 2π/ω"四步作答，并说明哪一步用了小角近似。
你只指出我哪一步不合规，不给最终周期；我全部答对后，再出 2 道由初始条件求 A 与 φ 的题，并提醒我先确认计算器是弧度制。

🚪 Unit 7 闸门（第 25 周）

• 闭卷限时 45 分钟：12 道选择题 + 1 道"证明是 SHM 并求周期"推导 + 1 道由初始条件求 $A$、$\varphi$ 的题 + 1 道线性化题（$T^2$ 对 m 求 k）。
• 费曼讲解 2 分钟："什么样的系统一定做简谐运动；振幅变大为什么周期不变，单摆什么时候例外。"
• 同周进行本学期的实验口试（第 5 节）。

5. FRQ / 作品任务专训

本科目没有作品任务；Section II 是四道纸笔 FRQ，占 50%。

四道 FRQ 的固定结构（2027 年起共 95 分钟）

FRQ 写法铁律（每次闸门与模考都检查）

1. 先列原理式，再代数字：写出 $\sum F=ma$、$\sum \tau =I\alpha$ 等基本方程本身就有分，代入算错只扣后续分。
2. "derive" 从基本定律起笔，不写记忆中的结论式。
3. "in terms of" 检查：最终式里的每个字母都要在题目给定的量或物理常数里，逐一打勾。
4. 受力图按 AP 规范：物体画成点，每个力一支从点出发的箭头，标签可区分（如 $F_g$、$F_N$、$f$），不画分量、不画 $ma$、不画"向心力"。
5. 实验题五步不缺环：选测什么量 → 仪器与操作 → 线性化（画什么对什么）→ 斜率 / 截距对应什么 → 误差来源与改进。
6. 论证题三段：主张 → 证据（题中数据或图）→ 物理推理（用哪条定律、为什么适用）；只写"因为公式是这样"不给分。
7. 限时：每道 FRQ 超过建议用时 3 分钟就写到能拿分的地方先跳，最后回补。

每周篇数与节奏

AI 批改的边界与真人复核频率

• 可以交给 AI（L3）： MR 题逐个采分点核对、代数与积分检查、"in terms of" 变量检查。AI 在数理推演上相当可靠。
• 不能只交给 AI： 受力图与手画图像（拍照上传也常误读箭头方向）、LAB 的实验方案是否可操作、QQT 论证是否真的用了物理机制。AI 倾向于接受含糊的论证，这是本课 AI 批改最大的失真点。
• 必须真人的环节： ① 每月至少 1 份 LAB 或 QQT 手写稿送志愿导师 / 大学物理系学生 / 付费老师复核（预算每月 ¥100–300），重点看"论证是否成立、实验能否真做"；② 每学期 1 次 15 分钟实验口试，由真人主考（家长 + 小队队长，或志愿导师）：随机抽一个家庭实验，问"你测了什么、为什么这样线性化、最大误差来自哪里、在学校实验室你会换什么仪器"；③ 每次单元闸门的费曼讲解要有真人听众。

家庭实验清单（7 个，家长在场，材料合计约 ¥100）

复摆的线性化：由 $T^2=\frac{4{\pi }^2(I_{cm}+m{d}^2)}{mgd}$ 得 $T^{2}d=\frac{4{\pi }^2}{g}{d}^2+\frac{4{\pi }^2{I}_{cm}}{mg}$。角动量守恒的"转椅收臂"演示不在家做（摔倒风险），用 PhET 或视频替代。

实验报告格式（AP 格式实验记录本，每份 1–2 页）： 研究问题 → 自变量 / 因变量 / 控制变量 → 器材与步骤（含"若在实验室我会用光电门 / 运动传感器替代什么"）→ 原始数据表（带单位与不确定度）→ 线性化图（手画，标出最佳拟合线与取点）→ 由斜率求出的物理量与理论值比较 → 误差段（系统误差 1 条、随机误差 1 条、各自使结果偏大还是偏小、1 个具体改进）。

FRQ 自评表示例（LAB，10 分，采分点为示意，按当年评分标准调整）： ① 指明要测的量与自变量 / 因变量；② 说明仪器与测量方法；③ 控制变量与重复测量；④ 写出"画什么对什么"；⑤ 坐标轴带量名与单位并正确描点；⑥ 画最佳拟合直线；⑦ 用拟合线上的点算斜率；⑧ 由斜率 / 截距求出目标量（含单位）；⑨ 一个具体误差来源及其对结果偏大 / 偏小的影响；⑩ 一个可操作的改进。每项 0 / 1 分，自评时逐条画勾，不许"感觉写得挺好"。

6. 模考与毕业闸门

官方真题分配原则

• 新格式（2025 起，四题型）的官方 FRQ 最多只有 2025、2026 两套（2026 年是否已公布未核实，第 1 周下载时核对），一律留给 4 月全真 #2、#3，提前做了就没有毕业测试题。
• 旧格式（2024 及以前）每套 3 道 15 分综合题，按小问的性质拆成四类训练题：含"设计实验 / 数据表 / 线性化"的小问 → LAB；"画图 / 受力图 / 由图写式"→ TBR；"derive / calculate"→ MR；"explain / justify"→ QQT。旧题的计分按比例折算。
• MCQ 官方不公开，全真卷的 42 道选择题用 CED 样题 + 平台题库 + OpenStax 章末题改写；不用 AI 现编的题做毕业测试。
• 按 AP 大纲规定：未达 85% 不得进入依赖课程——本课不毕业，不开 AP-2.4 电磁学。

录屏与见证

• 每场全真模考全程录屏（桌面 + 计时器 + 纸面可见），FRQ 写在纸上、拍照存档。
• 家长或小队队长一人线上同屏见证；无见证的成绩不计入闸门。
• FRQ 先按官方评分标准自评，再由 AI 复核（L3），有争议的题送真人。

冷却规则

• 任何闸门 / 模考不过：冷却 48 小时，只做错题对应知识点的重学与备用变式，不碰新内容；之后换卷重考。
• 同一单元闸门两次不过：该单元重学 1 周（U2、U5、U6 为 1.5 周），第三次考。
• 错题一律归到知识点编号（附录 A），毕业测试前"★★★ 欠账表"清零。

7. 报名与考务（社会考生）

没有 AP 协调员，就没有人替你盯日期。所有日期以当年官网为准（AP Central / Prometric 中国 / HKEAA），每年 8 月复审。

三条渠道

时间线（自学者自己盯）

• 9 月： 确定本年报考科目（每年 2–4 门、并行 ≤ 4 门，一年最多同时修两门 ★★★ 科目——本课与 Calc BC 同年就已占满）；盯 Prometric 通道公告。
• 10 月： 确认科目、缴费；装 Bluebook 跑一次 test preview。
• 11 月： 缴费截止（HKEAA 11/2、Prometric 约 11 月中、美国学校 11/13）。缴费时应已通过 U1 闸门，U2 闸门在截止前后完成；U3 闸门与 12 月阶段模考 ≥ 70% 是报名后的第一道止损线。
• 3 月： 设备体检（计算器电池、弧度 / 角度模式）；迟订截止 3/12（美国学校）。
• 5 月： 两周考期（2027 年为 5 月 3–7 日、10–14 日）；本科官网现定 2027-05-03（周一）上午，以官网为准，是考期第一天。五一假期安排以国务院公布为准（未核实），考点城市的车票与住宿 4 月上旬前订好，提前一天到。
• 6 月： AP 免费送分 6/20 前指定。7 月： 出分。

费用（截至 2026-09-05 的口径）：美国境内 $98/科（2026）；境外考点往年标价 $128/科，2026-27 未核实；大陆 Prometric 通道费用未核实，以当年公告为准。差旅另算。

设备与考务

• 混合数字化：选择题在 Bluebook 作答；FRQ 在 Bluebook 看题、在纸质答题册手写——平时 FRQ 一律纸笔练，只在屏幕上读题。
• 计算器：全程允许科学 / 图形计算器，须在 College Board 批准清单内（具体型号未核实，考前 2 个月定型号，不临场换机）；考场是否允许带直尺等作图工具未核实，以当年考生须知为准。
• 公式表与常数表 Bluebook 内可查，另发纸质版；训练目标是 10 秒内定位任一公式。
• 无 Digital Portfolio 组件；大陆通道不退费、无补考。

8. AI 使用规范

默认级别 L3（可协作但须标注）。分环节：

三个提示词模板（可直接复制）

① 讲解模板

你是我的 AP Physics C: Mechanics 导师。规则：只提示不给答案；在我说"给答案"之前，不得写出最终表达式或数值。
我卡在知识点 <填 CM-x.y 编码>：<粘贴题目、我已写出的步骤、我卡住的那一步>。
请按顺序做三件事：
1) 用一个问题确认我卡在"选原理 / 列方程 / 数学计算 / 代初值"中的哪一类；
2) 给一个比原题更简单、我能自己算出结果的同类小例子；
3) 我报告结果后，再决定给下一个提示还是让我回到原题。
全程使用 AP 符号：冲量 J、转动惯量 I、动能 K、势能 U。

② 出题模板

你是我的 AP Physics C: Mechanics 出题官。按 AP 大纲知识点 <填编码> 出 10 道题，配比固定：
4 道单选题（其中 1 道陷阱题）+ 3 道"从基本定律推导"的短题 + 2 道"给数据表，说出画什么对什么、斜率代表什么"的线性化题 + 1 道"先文字论证再计算"的题。
约束：情境只用 CED 范围内的内容，不出流体、波动、热学；每题标注知识点编码与难度 ★。
先只给题目。我逐题作答后，你每题只回"对 / 错 + 一句指向错因的提示"，全部答完再统一讲解。

③ 批改模板

你是 AP Physics C: Mechanics 的评分员。下面是官方 FRQ 题干、评分标准（如有）与我的手写答案转录。
1) 先把这道题的采分点写成"应当出现的可见书面动作"清单（MR 10 项、TBR 12 项、LAB 10 项、QQT 8 项，按题型）；
2) 对每一项只判"得分 / 不得分"，不改写我的答案；
3) 单列"规范检查"：推导是否从基本定律起笔；最终式是否只含题目给定的量与物理常数；受力图是否有多余的力或分量；斜率是否用了拟合线上的点；
4) 对不得分项各给一句提示，指向题干里我没照做的那句话。
我改完发第二版重评，第三版之后我才会说"给参考答案"。

四层反馈在本课的落点

禁止项与诚信

• 不买"拼车号 / 代充号"；18 岁前一律用国内可直接访问的大模型（DeepSeek、通义、智谱、豆包、Kimi），需监护人同意。
• 闸门与模考期间使用 AI：该次成绩作废，换卷重考。
• 家庭实验数据不得编造或"修饰"；异常点保留并在误差段解释。编造数据一次，本学期外部锚不计入。
• AI 生成的"模拟真题"不得用于毕业测试。

9. 全年周计划

日期按 2026-27 考季示范：第 1 周 = 2026-09-07（周一），考试日 = 2027-05-03（周一上午）。实际所在考季按同一周序平移，考试日以当年 AP Central 日程为准。每行括号内为该周本课时数，全年合计约 179 小时。

冲刺 1 的"七条定律"按本大纲划分：① 平动牛顿第二定律 ② 转动定律 $\sum \tau =I\alpha$ ③ 功—能定理与机械能守恒 ④ 冲量—动量定理与动量守恒 ⑤ 角冲量—角动量定理与角动量守恒 ⑥ 万有引力定律与开普勒定律 ⑦ 胡克定律与 SHM 判据。每条写微分形式、积分形式、适用条件。

与三年课表的对应。 科学 / 工程方向排在 Year 2，与 AP-1.3 Calculus BC、AP-3.1 Chemistry（及可选 Micro）并行；按 AP 大纲"一年最多同时修两门 ★★★"，本课与 BC 同年时 Chemistry 必须是另一年或降为可选。软件 / AI 方向排在 Year 3（与 Stats、Lang 并行，可选）。模块侧与 2027-94 木牛流马与古代机关术（齿轮、连杆、擒纵，对应 U5 力矩与 U7 振动）、2028-12 电影里的物理学（力、动量与能量的估算）、2028-01 飞行的物理学（阻力与升力，对应 CM-2.9）互补。

三层速度的调整。

• 牛顿层： 不与 Calc BC 同年；等微积分学完积分的次年再开，单元周按 22–24 周走（U2、U5、U6 各加 1 周），本年只考这一门物理。
• 伽利略层： 按上表执行。
• 爱因斯坦层： 有 AP Physics 1 与微积分基础者按 16–18 周走（U1、U4 各压 1 周，U3 压到 2 周），1 月中完成全部单元；省下的时间做 F=ma / BPhO 备赛（报名渠道核实后）与一个更完整的公开仿真项目。不在同一考季从零开 E&M（见第 10 节第 11 条）。

10. 本科目的"不知道的不知道"（8–12 条）

1. 本科从 2025 年起由 90 分钟变成 3 小时，FRQ 由 3 道 15 分综合题变成 4 道固定题型；2027 年 5 月起时长再调为 42 题 / 85 分钟 + 4 题 / 95 分钟。 —— 会踩是因为市面上多数备考书、B 站课和 2024 年及以前的真题都是旧格式（35 题 / 45 分钟 + 3 题 / 45 分钟），拿旧书的计时与题型练，考场节奏全乱；"Physics C 两门同一天连考"也是旧格式时代的说法。对策：以 CED 为唯一权威；旧 FRQ 只当题源、按四题型拆用；所有模考按 2027 新计时。
2. "推导（derive）"题必须从基本定律起笔，国内训练出的"二级结论"恰好是扣分源。 —— 会踩是因为你背过的"竖直圆周最高点 $\sqrt{gR}$""弹性碰撞速度公式"写上去又快又对，但没有 $\sum F=ma$ 或守恒式那一行就不给推导分。对策：推导第一行写原理式、第二行写本题具体形式；批改模板固定检查"第一行是不是基本定律"。
3. FRQ 要求"用给定的量表示答案"（in terms of m, L, g, and physical constants, as appropriate），最终式多出一个题目没给的量（如张力 T）就不得分。 —— 会踩是因为国内题习惯"求出数值"，你会把中间量留在最终式里。对策：每道 FRQ 写完把最终式里的每个字母与题干列表逐一对勾，写进批改模板的规范检查。
4. AP 的符号与国内教材不同：冲量用 J，I 是转动惯量；动能 K、势能 U；国内的 $E_k$、$E_p$、I（冲量）写进答卷会造成歧义。 —— 会踩是因为 U4–U6 同一题里同时出现冲量与转动惯量时，你写的 I 让阅卷者无法判读。对策：第 1 周抄一遍附录 C 的符号对照表，全课答卷只用 AP 符号；提示词模板里写明符号约定。
5. 线性化实验题要求"用最佳拟合直线上的点"算斜率，不能直接拿两个原始数据点；而且全程可用计算器。 —— 会踩是因为国内高考物理不让用计算器，你没练过线性回归，也不知道评分标准对取点的要求。对策：每个线性化练习先在方格纸上手画拟合线、标出两个取点，再用计算器 LinReg 对照；计算器考前 2 个月定型。
6. 计算器的角度制 / 弧度制在本课来回切换：斜面倾角用度，SHM 的 $\omega t+\varphi$、转角 θ 必须用弧度。 —— 会踩是因为 U7 里用角度制算 $\cos (\omega t+\varphi )$ 得出完全错误的位移，而且不会察觉。对策：U5 起每次闸门与模考前把计算器模式写在草稿纸第一行；SHM 题算完用 $t=0$ 反代检验。
7. AP 微积分课把分离变量放在 Unit 7（按常规进度在学年后半），而且完全不教二阶微分方程；本课 10 月就要解阻力方程，2 月要解 $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$。 —— 会踩是因为你以为"跟着微积分课走就够了"，结果 10 月卡在 CM-2.9、2 月卡在 CM-7.1。对策：第 2–3 周的工具包提前教分离变量；SHM 用"猜解 $x=A\cos (\omega t+\varphi )$ 再代回验证"，不去学通解理论。
8. 实验题会点名你没摸过的标准器材：光电门（photogate）、运动传感器（motion detector）、力传感器（force probe）、低摩擦导轨。 —— 会踩是因为家庭实验只有手机和尺子，你懂原理却说不出"光电门测挡光时间 Δt，$v$ = 挡光片宽度 / Δt"这类标准表述，LAB 第一问就丢分。对策：附录 C 专列器材英文名与标准用法；每份家庭实验报告写一句"若在实验室，我会用哪种器材替代哪一步"。
9. 新 CED 反复考"系统"的选择：重力势能属于"物体—地球系统"，选了系统就不能再对系统内力算功。 —— 会踩是因为国内教材常说"物体的重力势能"，你会同时写重力做功和重力势能变化，重复计算。对策：每道能量题第一行写"系统 = { }，外力 = { }"；QQT 论证第一句也从系统边界开始。
10. 力学考试排在考期第一天（2027-05-03 周一上午，以官网为准），很可能落在五一假期里。 —— 会踩是因为你按"5 月中旬考"排冲刺，少了整整一周；五一期间去考点城市的车票与住宿紧张（2027 年放假安排未核实）。对策：冲刺从 3 月 29 日开始；缴费后立即查考点城市与交通，4 月上旬前订好往返与住宿，提前一天到。
11. 学校里 Physics C 常是"一学年连修力学 + 电磁"，但自学版的报名门槛让你不能照搬同年双考。 —— 会踩是因为看到别人"一年双 5"就想同年报 E&M，可 11 月缴费时 E&M 一个单元都没学，12 月阶段模考也无从谈起。对策：本课程默认力学 Y2、电磁 Y3；同一考季报两门，只适用于"力学上一年已毕业、今年只是补考或重考力学"的情形。
12. 家庭力学实验的伤害主要来自"高处与转动"：站椅子释放重物、转椅收臂演示、弹簧与橡皮筋回弹。 —— 会踩是因为视频里老师坐转椅收臂很酷，自学者在家照做容易摔倒，拉长的弹簧脱手会弹到眼睛。对策：所有实验家长在场；释放点不高于桌面加手臂高度；转动类演示只用 PhET 或视频；拉伸弹簧、橡皮筋时戴护目镜。

11. 学完之后

• 直接后继： AP-2.4 Physics C: E&M——本课毕业测试 ≥ 85% 后才开（硬前置），通常放在下一年；开课前把本课的 U3 能量、U2 圆周运动、U7 SHM 与 U6 角动量推导卡再过一遍。
• 大学学分： 多数美国大学对 Physics C: Mechanics 4–5 分给"微积分物理 I"的学分或免修，具体以各校 AP credit policy 为准（未核实）；国内高校一般不认 AP 学分，但它是理工科申请里最硬的物理证据之一。
• 方向课程与模块： 2027-94 木牛流马与古代机关术（用本课的力矩与振动分析齿轮系与擒纵机构）；2028-01 飞行的物理学（把 CM-2.9 的阻力模型用到飞行器测试）；科学 / 工程方向的 Fusion 360 与 3D 打印作品（机构设计直接调用转动与平衡）。
• 作品升级： 把三个仿真与七份实验报告整理成一个公开仓库（Gitee 主仓 + GitHub 镜像），README 必含：每个仿真的物理模型与方程、数值方法、与解析解或实验数据的对比图、已知误差来源、一段"我踩过的三个坑"。这是替代外部锚，也是面试时最能被追问的东西。
• 外部锚续接： F=ma / BPhO（报名渠道核实后）；大学先修方向可接 MIT OCW 8.01SC 的完整习题与大学《理论力学》入门。

附录 A · 知识点编码总表（按单元，全部编码 + ★ 级）

49 个知识点，编码与 ★ 级沿用 AP 大纲原节。"高频考法"为本大纲经验归纳（MCQ 选择题；MR / TBR / LAB / QQT 为四类 FRQ），不是官方分类。

★★★ 欠账表（首轮 ≥ 70% 放行、毕业测试前必须补到全对）： CM-1.6、CM-2.9、CM-2.11、CM-3.5、CM-4.5、CM-5.4、CM-5.7、CM-6.4、CM-6.5、CM-7.5、CM-7.6。

附录 B · 官方真题与样题清单（可得年份、题型、用途分配）

来源： AP Central 本科的 past-exam-questions 页（路径形如 apcentral.collegeboard.org/courses/ap-physics-c-mechanics/exam/past-exam-questions），提供历年 FRQ、评分标准、学生样卷与分数分布，免费、【直】。选择题官方不公开，只有 CED 里的样题与 AP Classroom（对 exam-only 学生基本关闭）。可得年份以页面为准（未核实），第 1 周下载时把实际拿到的年份填进下表。

MCQ 题源（官方不公开，只能拼）： CED 样题（唯一官方 MCQ，【直】，留给全真模考）→ 本平台题库（按知识点编码组织，微关与闸门主力）→ 新格式备考书题库（【付】，未核实，单元训练用）→ OpenStax Vol.1 章末 Conceptual Questions 改写成 4 选 1（日常练习）→ AI 生成的变式题（只用于 L3 日常练习，不得用于毕业测试）。

附录 C · 术语表（中英对照）

附录 D · 版本与核验记录