AP 微积分 ABAP Calculus AB

一句话定位： 单变量微积分的第一学期——极限、导数、积分与可分离微分方程，考"算得对 + 说得清 + 会用在情境里"。 · 难度： ★★（内容比国内高三导数更宽、更重应用与书面论证，计算反而更轻）· 适合谁： 已完成 AP-1.1 Precalculus 或国内高一高二函数与三角的学生；理工商科申请者的"标配"。 · 在三年自学课程里的位置： 软件 / AI、网安 / IT、数据 / 商业方向的 Year 2 骨架 AP，与 Micro、Psych（或 Physics 1）、方向 AP 并行；科学 / 工程方向改走 AP-1.3 Calculus BC。 · 大陆可考： ✅ 纯考试、无作品任务。 · 自学时长： 150–220 小时；默认 28 周版（每周 6–8 小时），零基础 32 周，有基础 22–26 周。

0. 课程卡片

1. 这门课对自学者意味着什么

定位与难点。 AB 的计算不难，难在把算出来的东西说清楚。FRQ 里 MP3 论证与说理占 35–60%、MP4 记号与表达占 10–25%，"说理 + 记号"合计可达全部 FRQ 分的一半以上：极值不写"$f^{\prime }$ 变号"、用中值定理不写"连续且可导"、解释含义不写单位与时刻、定积分不写上下限，都按采分点扣分。选择题则相反，Part A 29 题 62 分钟，约 2 分钟一题，快速识别题型比硬算重要。

自学者特有的三个失败点（来自评分行）：

1. "会算不会说"：极限与定理条件的书面陈述。 国内训练重结果，AB 的 FRQ 要"条件 → 依据 → 结论"。对策：每单元建一张"定理卡"（条件、结论、英文标准句），Unit 4 起每次闸门都有一道完整 FRQ 按官方评分标准自评。
2. FRQ 记号与单位丢分。 漏 $dx$、$\frac{dy}{dx}$ 与 $f^{\prime }$ 混用、等号连接不相等的量、含义句没有单位与时刻。没有老师逐行圈，这些错会一直留着。对策：自评表单列"记号与单位"一项，小队互评专查这一项。
3. 计算器题不会用 Desmos。 Part B 选择题与 FRQ Part A 必须用计算器，Bluebook 内置的是 Desmos；而网上多数 AP 计算器教程教的是 TI-84 按键。对策：Unit 4 结束前把 Desmos 的四项操作（求交点、某点导数值、定积分、画图读零点与极值）练到每项 1 分钟内。

什么时候该推迟或放弃（止损线）。

• 推迟一年的硬线： 4 月全真 #2、#3 两次都不到 85%——报名费损失，成绩单不损失。
• 退回补课的止损线： Unit 1 或 Unit 2 闸门两次不过，且错题集中在因式分解、三角值、指对运算上——说明前置没打牢，按源包零基础路线先补 3–4 周 AP-1.1 的 Unit 1–3 核心，再回来。
• AB 还是 BC： 目标理工科、诊断 ≥ 9/10 且每周能给 8 小时以上的学生，9 月直接改走 AP-1.3 BC；AB 与 BC 同年只能报一门，先 AB 后 BC 要多花一年和一次报名费。
• 不该放弃的假信号： Unit 6 前两周（累积函数、FTC）觉得"面积和导数怎么扯上关系"很乱是正常的，这是全课的概念转折点。

2. 先修诊断（10 题）

闭卷、纸笔、限时 40 分钟、禁计算器，第 1 周做。

判定与补洞路径。

• 8–10 题对： 第 1 周直接从 AB-1.1 开始。Year 1 夏季做过 U1–U3 预习、且 U2–U3 微关一次全对者，按"有基础"把 U2–U3 压到 3 周。
• 5–7 题对： 错在 1、4、5、7 → 用 2 周补 AP-1.1 Unit 1 与 Unit 2 的对应知识点（OpenStax Precalculus 2e 第 1、3 章）；错在 3、8 → 补 1 周单位圆与恒等式（OpenStax Precalculus 2e 第 5、7 章）；补洞期间 U1 照常推进，每周多 2 小时。
• ≤ 4 题对，或第 2、3 题都错： 按源包零基础路线，先用 3–4 周补 AP-1.1 的 Unit 1–3 核心（函数族图像、三角恒等式、指对运算）再从 AB-1.1 开始，总周期 32 周；若 AP-1.1 从未学过，建议本年先学 AP-1.1。
• 第 10 题错： 不影响进度，但从第 1 周起每天读 2 段官方 FRQ 题干并用中文复述，第 4 周重测一道同类题。

3. 资源栈

国内替代与离线策略。

• 第 1 周做"资源连通性自检"：CED 下载、past-exam-questions 页、OpenStax PDF、Khan、AP Classroom 视频、Bluebook 练习考、Desmos 网页、B 站 3Blue1Brown。结果记进档案，不通的换成上表【替】那一行。
• 离线包（本地 + 外置盘 + 云盘，3-2-1）：CED PDF、OpenStax Calculus Volume 1 与 2 的 PDF、所有历年 FRQ 与评分标准 PDF（按年份建文件夹，最近三年单独封存）。下完后本课断网可推进 85%。
• YouTube 系列不作任何环节的主线；B 站搬运只当补丁。

明确不用的资源及原因。

• AP Classroom 的 Personal Progress Check 与教师端练习考：需教师布置，exam-only 学生不可用。
• 网上流传的"完整真题卷""AP 真题合集"与网盘题库：选择题官方从不公开，流传的是未授权或盗版材料，本课不使用、不推荐。
• 国内高考导数压轴题集：训练的是构造函数与放缩技巧，AB 不考，时间投入产出极低。
• AI 现编的"模拟真题"：只做变式练习（L3），不得用于毕业模考。

4. 单元学习路线

全课屏幕 / 离屏约 4 : 6：屏幕用于视频、Desmos 与平台微关；离屏用于读教材、纸笔演算、手写 FRQ、默写定理卡。每 30–40 分钟离开屏幕 10 分钟；所有题先纸笔做再上平台核对。单元闸门的通用规则：单元结束 48 小时后考，闭卷限时，L1 禁 AI；总纲底线是 ≥ 80%，本科目沿用 AP 大纲更严的标准——全对才过，错 1 题回看对应知识点做备用变式（全对即过），错 ≥ 2 题本单元重学后换卷；两次不过 → 冷却 48 小时 + 错题重学 + 换卷。自 Unit 4 起每张闸门卷必含 1 道完整 FRQ，按官方评分标准计分。费曼讲解 2 分钟必须有真人听众。

Unit 1 · Limits and Continuity / 极限与连续（占比 10–15%，第 1–3 周，约 20 小时）

知识点清单：AB-1.1 为什么需要极限 ★；AB-1.2 极限定义与记号、单侧极限 ★；AB-1.3 由图像估计极限 ★；AB-1.4 由表格估计极限 ★；AB-1.5 极限的代数性质 ★；AB-1.6 代数变形求极限 ★★；AB-1.7 求极限方法的选择 ★★；AB-1.8 夹逼定理与 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ ★★；AB-1.9 极限的多表征联系 ★★；AB-1.10 间断点类型 ★；AB-1.11 点连续的三条件 ★；AB-1.12 区间连续与分段函数参数 ★★；AB-1.13 去除可去间断 ★；AB-1.14 无穷极限与垂直渐近线 ★；AB-1.15 无穷远处极限与水平渐近线 ★★；AB-1.16 介值定理 IVT ★★。

学习活动：读（离屏 6 h）CED Unit 1 + OpenStax Calculus Vol 1 的 2.1–2.4 与 4.6；看（屏幕 4 h）Khan AP Calc AB Unit 1 或 AP Videos，3Blue1Brown 极限一集；做（屏幕 3 h + 离屏 7 h）微关 + 代数求极限 30 题（因式分解、有理化、通分各 10）+ 分段函数连续性参数 10 题 + IVT 说理 5 题。

本单元产出：一页"求极限方法流程图"（AB-1.7：直接代入 → 因式分解 / 有理化 → 夹逼 → 无穷远处看最高次）；一张 IVT 定理卡（条件 + 结论 + 英文标准句）。

微关示例题

1. 求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$。 答案要点： 分子有理化得 $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$，极限 $\frac{1}{4}$；直接代入得 $\frac{0}{0}$ 时要写出"需要变形"。
2. 求 ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$。 答案要点： $x<0$ 时 $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+1/x^2}=-x\sqrt{1+1/x^2}$，原式 $=-\sqrt{1+1/x^2}\to -1$，不是 $1$。
3. $f(x)=kx+1(x\le 2)$，$f(x)=x^2-k(x>2)$，$k$ 为何值时 $f$ 处处连续？ 答案要点： 两侧在 $x=2$ 处相等：$2k+1=4-k$，$k=1$；要写出左极限、右极限、函数值三者相等。
4. $f$ 在 $[1,4]$ 上连续，$f(1)=-2$，$f(4)=5$。证明存在 $c$ 使 $f(c)=0$。 答案要点： "Because $f$ is continuous on $[1,4]$ and $f(1)=-2<0<5=f(4)$, by the IVT there is at least one $c$ in $(1,4)$ with $f(c)=0$." 不写"continuous"不给分。

易错与陷阱：把"极限存在"与"函数值存在"混为一谈；$x\to -\infty$ 时 $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ 漏负号；用 IVT 不先写"连续"条件。

AI 导师用法

你是我的 AP Calculus AB 导师，只提示不给答案。按 CED 知识点 AB-1.6 到 AB-1.8 出 10 道求极限题，
覆盖因式分解、有理化、通分、夹逼各至少 2 道，其中 2 道是 x→-∞ 的根式题。
我作答时会先写"我选的方法 + 理由"再算。你每题只回：方法选得对不对、结果对不对；
方法选错时只问我"直接代入得到的是什么形式"，不要替我选方法。

🚪 Unit 1 闸门：闭卷限时 45 分钟（无计算器）20 题 + 1 道 IVT 说理小问，含变式与陷阱题。费曼讲解："极限存在 ≠ 函数有定义 ≠ 连续，三者是什么关系"，各举一个反例。白纸默画项：点连续的三条件 + IVT 标准句。

Unit 2 · Differentiation: Definition and Fundamental Properties / 导数的定义与基本性质（占比 10–15%，第 4–6 周，约 20 小时）

知识点清单：AB-2.1 平均与瞬时变化率 ★；AB-2.2 导数的极限定义与记号 ★；AB-2.3 由表格 / 图像估计导数，识别极限式是哪个导数 ★★；AB-2.4 可导与连续的关系 ★★；AB-2.5 幂法则 ★；AB-2.6 常数、和差、常数倍法则 ★；AB-2.7 $\sin x,\cos x,e^x,\ln x$ 的导数 ★；AB-2.8 乘法法则 ★；AB-2.9 除法法则 ★★；AB-2.10 $\tan ,\cot ,\sec ,\csc$ 的导数 ★★。

学习活动：读（离屏 6 h）CED Unit 2 + OpenStax Vol 1 的 3.1–3.3、3.5、3.9；看（屏幕 4 h）Khan Unit 2 + 3Blue1Brown 导数一集；做（屏幕 3 h + 离屏 7 h）微关 + 求导 60 题（每条法则 10 题）+ "这个极限是哪个函数在哪点的导数"识别 10 题 + 表格估导数 10 题。

本单元产出：导数表（12 条基本导数 + 4 条法则）手写一页，Anki 建卡；一页"可导 ⟹ 连续、反之不然"的三类反例图（尖点、竖直切线、间断）。

微关示例题

1. ${\lim }_{h\to 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}$ 是哪个函数在哪点的导数？值是多少？ 答案要点： $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=9$；$f^{\prime }(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}$。
2. 求 $\frac{d}{dx}\frac{x^2}{x+1}$。 答案要点： $\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$；分子顺序是"下导上 − 上导下"，写反即错。
3. $f(x)=|x-2|$ 在 $x=2$ 处连续吗？可导吗？ 答案要点： 连续；不可导，左导数 $-1$、右导数 $1$ 不相等（尖点）。
4. $t$ = 0, 2, 5, 9（分钟）时 $W(t)$ = 20, 24, 30, 42（升）。估计 $W^{\prime }(3.5)$ 并写单位。 答案要点： 用包住 3.5 的对称区间 $[2,5]$：$\frac{30-24}{5-2}=2$ 升/分钟。

易错与陷阱：除法法则分子顺序写反；把 $\frac{d}{dx}{e}^2$ 当成 $e^2$ 而非 0；表格估导数时不用包住该点的区间。

AI 导师用法

你是我的求导教练，只提示不给答案。出 12 道求导题（幂、乘法、除法、三角、指对各 2 道，另 2 道是
"识别下面的极限式是哪个函数在哪点的导数"）。我每题写出"用了哪条法则 + 结果"。
你只回对/错；错了就指出我用错的是哪条法则的哪一项，不写正确结果。最后按法则统计我的错误。

🚪 Unit 2 闸门：闭卷限时 45 分钟（无计算器）22 题，含 2 道表格估导数并写单位。费曼讲解："为什么可导一定连续、连续不一定可导"，用 $|x|$ 举例。白纸默画项：导数表 12 条。

Unit 3 · Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions / 复合、隐函数与反函数求导（占比 5–10%，第 7–9 周，约 18 小时）

占比最小，但链式法则是后面一切的工具（相关变化率、隐函数、FTC 求导、换元积分都靠它），不能因为占比低而快过。

知识点清单：AB-3.1 链式法则（多层复合、与表格联用）★；AB-3.2 隐函数求导与切线 ★★；AB-3.3 反函数求导 $(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$ ★★；AB-3.4 反三角函数的导数 ★★；AB-3.5 求导方法的选择与综合 ★★；AB-3.6 高阶导数与隐函数的二阶导数 ★★。

学习活动：读（离屏 5 h）CED Unit 3 + OpenStax Vol 1 的 3.6–3.8；看（屏幕 3 h）Khan Unit 3 + 3Blue1Brown 链式法则与隐函数两集；做（屏幕 3 h + 离屏 7 h）微关 + 链式法则 40 题（其中 10 题给表格求复合函数导数）+ 隐函数求切线 10 题 + 反函数求导 10 题。

本单元产出：一页"链式法则的洋葱图"（每层外函数导数 × 内层导数）；一张反函数求导卡（先求 $a=f^{-1}(b)$ 再代入）。

微关示例题

1. 求 $\frac{d}{dx}{\sin }^3(2x)$。 答案要点： $3{\sin }^2(2x)\cdot \cos (2x)\cdot 2=6{\sin }^2(2x)\cos (2x)$；三层，漏乘任何一层即错。
2. 曲线 $x^2+xy+y^2=7$ 在点 $(1,2)$ 处的切线斜率。 答案要点： $2x+y+x{y}^{\prime }+2y{y}^{\prime }=0$，$y^{\prime }=-\frac{2x+y}{x+2y}=-\frac{4}{5}$；$xy$ 要用乘法法则。
3. $f(x)=x^3+x+1$，$g=f^{-1}$，求 $g^{\prime }(3)$。 答案要点： 先解 $f(a)=3$ 得 $a=1$；$f^{\prime }(1)=4$，$g^{\prime }(3)=\frac{1}{4}$。直接代 $f^{\prime }(3)$ 是最常见的错。
4. $h(x)=f(g(x))$，$g(1)=3$，$g^{\prime }(1)=-2$，$f^{\prime }(3)=5$，求 $h^{\prime }(1)$。 答案要点： $h^{\prime }(1)=f^{\prime }(g(1))g^{\prime }(1)=5\cdot (-2)=-10$。

易错与陷阱：链式法则漏乘内层导数；反函数导数用错点（应代入 $a=f^{-1}(b)$）；隐函数二阶导数忘把一阶结果回代。

AI 导师用法

你是我的链式法则教练，只提示不给答案。给我 8 道题：4 道三层以上复合求导、2 道给表格求复合函数导数、
2 道隐函数求切线斜率。我会把每一层写成"外层导数 × 内层导数"的形式。
你只检查我拆的层数和每一层的导数，指出第一处漏层或错层，问我"这一层里面还包着什么"，不给最终结果。

🚪 Unit 3 闸门：闭卷限时 45 分钟（无计算器）20 题，含 2 道表格型复合求导与 1 道隐函数二阶导数。费曼讲解："隐函数求导时，为什么对 $y$ 求导要乘 $\frac{dy}{dx}$"。

Unit 4 · Contextual Applications of Differentiation / 导数的情境应用（占比 10–15%，第 10–12 周，约 22 小时）

知识点清单：AB-4.1 导数在情境中的含义（单位与解释句）★；AB-4.2 直线运动：位置、速度、加速度，加速 / 减速判定 ★★；AB-4.3 非运动情境的变化率 ★★；AB-4.4 相关变化率入门 ★★；AB-4.5 相关变化率题的求解（先求导后代值）★★★；AB-4.6 局部线性与线性近似，高估 / 低估 ★★；AB-4.7 洛必达法则（先写明不定式类型）★★。

学习活动：读（离屏 6 h）CED Unit 4 + OpenStax Vol 1 的 3.4、4.1、4.2、4.8；看（屏幕 4 h）Khan Unit 4；做（屏幕 3 h + 离屏 9 h）微关 + 相关变化率 15 题（每题先画图、标变量、写关系式）+ 含义解释句 20 句 + 每周 1 道 FRQ 运动题；Desmos 四项操作本单元内练熟。

本单元产出：相关变化率"四步卡"（画图 → 关系式 → 对 $t$ 求导 → 最后代值）；20 句含义解释句（每句都含数值、单位、时刻、情境对象）。

微关示例题

1. 粒子位置 $x(t)=t^3-6t^2+9t$（$t\ge 0$）。何时向左运动？$t=2.5$ 时在加速还是减速？ 答案要点： $v=3(t-1)(t-3)$，$(1,3)$ 上 $v<0$ 向左；$v(2.5)=-2.25$，$a(2.5)=6(2.5)-12=3$，异号 → 减速。理由必须写"$v$ 与 $a$ 异号"。
2. 13 英尺木梯靠墙，底端以 2 ft/s 远离墙。底端离墙 5 ft 时，顶端下滑速度？ 答案要点： $x^2+y^2=169$，$2x{x}^{\prime }+2y{y}^{\prime }=0$；$x=5$ 时 $y=12$，$y^{\prime }=-\frac{5\cdot 2}{12}=-\frac{5}{6}$ ft/s，顶端以 $\frac{5}{6}$ ft/s 下滑。先求导再代值。
3. 用 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=16$ 处的切线估计 $\sqrt{16.5}$，是高估还是低估？ 答案要点： $L(x)=4+\frac{1}{8}(x-16)$，$L(16.5)=4.0625$；$f^{\prime \prime }<0$，图像下凹，切线在曲线上方 → 高估。
4. 求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\sin x}$。 答案要点： 先写"$\frac{0}{0}$ 型"，再用洛必达：$\lim \frac{2e^{2x}}{\cos x}=2$。

易错与陷阱：相关变化率先代数值后求导（把变量当常数）；"速度为负"说成"减速"；用洛必达前不验证 $\frac{0}{0}$ 就直接求导。

AI 导师用法

你是我的 AP Calculus AB 情境题教练，只提示不给答案。给我 6 个情境（水箱、气球、影子、木梯、车流、温度），
每个只问一句"解释 f'(a) = 数值 的含义"或"何时在加速"。我会写英文解释句。
你只按四个要素检查我的句子：数值、单位、时刻或区间、情境对象，缺哪个就问我哪个，不替我改写。

🚪 Unit 4 闸门：闭卷限时 60 分钟 = 18 题（14 无计算器 + 4 计算器）+ 1 道完整 FRQ 运动题（官方评分标准计分，≥ 85% 即 9 分制 ≥ 8 分；选择题部分仍须全对）。费曼讲解："speeding up 的判据为什么是 $v$ 与 $a$ 同号"。

Unit 5 · Analytical Applications of Differentiation / 导数的分析应用（占比 15–20%，第 13–16 周，约 30 小时）

FRQ 说理题的大本营：由 $f^{\prime }$、$f^{\prime \prime }$ 读出 $f$ 的单调、极值、凹凸、拐点。本单元的英文标准句要背到脱口而出。

知识点清单：AB-5.1 中值定理 MVT ★★；AB-5.2 极值定理 EVT、全局 vs 局部极值、临界点 ★；AB-5.3 单调区间 ★；AB-5.4 一阶导数检验法 ★；AB-5.5 候选点法求闭区间最值 ★★；AB-5.6 凹凸性与拐点 ★；AB-5.7 二阶导数检验法 ★★；AB-5.8 由 $f$、$f^{\prime }$、$f^{\prime \prime }$ 互相画图识图 ★★；AB-5.9 $f$、$f^{\prime }$、$f^{\prime \prime }$ 的综合判断 ★★；AB-5.10 最优化入门 ★★；AB-5.11 最优化求解并验证最值 ★★★；AB-5.12 隐函数关系的极值与凹凸 ★★★。

学习活动：读（离屏 8 h）CED Unit 5 + OpenStax Vol 1 的 4.3–4.5、4.7；看（屏幕 5 h）Khan Unit 5，只看卡壳的节；做（屏幕 4 h + 离屏 13 h）微关 + "给 $f^{\prime }$ 图写出 $f$ 的一切"读图题 20 题 + 说理句 20 句 + 最优化 10 题 + 每周 1–2 道 FRQ 图像题。

本单元产出：定理卡 3 张（MVT、EVT、IVT：条件 + 结论 + 英文标准句）；一页"$f^{\prime }$ 图 → $f$ 性质"对照表（$f^{\prime }$ 正负 ↔ 增减，$f^{\prime }$ 增减 ↔ 凹凸，$f^{\prime }$ 变号 ↔ 极值，$f^{\prime }$ 的极值 ↔ 拐点）。

微关示例题

1. $f^{\prime }(x)=(x-1)(x+2{)}^2$。$f$ 在哪里有极值？ 答案要点： 临界点 $x=1,-2$；$f^{\prime }$ 在 $x=-2$ 两侧都为负，不变号，无极值；在 $x=1$ 由负变正，相对极小。标准句："$f$ has a relative minimum at $x=1$ because $f^{\prime }$ changes from negative to positive at $x=1$."
2. 求 $f(x)=x^3-3x$ 在 $[0,3]$ 上的最值。 答案要点： 候选点 $x=0,1,3$（$x=-1$ 不在区间内）；$f(0)=0$，$f(1)=-2$，$f(3)=18$；最大 18、最小 $-2$。漏端点是最常见的错。
3. $f(x)=x^4$ 在 $x=0$ 处有拐点吗？ 答案要点： $f^{\prime \prime }(0)=0$，但 $f^{\prime \prime }=12x^2$ 在 0 两侧都为正，不变号，所以不是拐点。
4. 边长 12 的正方形铁皮四角剪去边长 $x$ 的小正方形做无盖盒，求最大容积。 答案要点： $V=x(12-2x{)}^2$，$0<x<6$；$V^{\prime }=(12-2x)(12-6x)=0$ 得 $x=2$；$V^{\prime }$ 在 2 处由正变负，最大值 $V(2)=128$。必须写出验证最大的理由。
5. $f(x)=x^2$ 在 $[1,3]$ 上满足 MVT 的 $c$。 答案要点： $f$ 在 $[1,3]$ 连续、在 $(1,3)$ 可导（先写）；$f^{\prime }(c)=2c=\frac{9-1}{3-1}=4$，$c=2$。

易错与陷阱：说理句写"$f^{\prime }(c)=0$ 所以极大值"（必须写 $f^{\prime }$ 在 $c$ 由正变负）；拐点只验 $f^{\prime \prime }=0$ 不验变号；最值题忘检查端点；MVT 不写连续可导条件。

AI 导师用法

你是我的 AP Calculus AB 说理教练，只提示不给答案。给我 5 张用文字描述的 f' 图像（写明零点、正负区间、增减区间），
每张问 3 件事：f 的增减区间、相对极值点、拐点，并要求"Justify your answer"。
我用英文写理由。你按"条件 → 依据 → 结论"三段检查，只指出缺哪一段；
如果我写成"f'(c)=0 所以是极值"，追问我"f' 在 c 两侧是什么符号"，不要替我改句子。

🚪 Unit 5 闸门：闭卷限时 70 分钟 = 22 题（16 无计算器 + 6 计算器）+ 1 道完整 FRQ 图像题（给 $f^{\prime }$ 图，官方评分标准 ≥ 85%）。费曼讲解："拐点为什么不等于 $f^{\prime \prime }=0$ 的点"。白纸默画项：MVT / EVT / IVT 三张定理卡。

Unit 6 · Integration and Accumulation of Change / 积分与累积变化（占比 15–20%，第 18–22 周，约 35 小时）

积分 = 累积 = 黎曼和的极限 = 反导数（FTC）。先会用几何与表格，再学技巧；FTC 与累积函数几乎每年都进 FRQ。

知识点清单：AB-6.1 累积变化：变化率曲线下的面积即总变化量 ★；AB-6.2 黎曼和：左、右、中点、梯形，高估 / 低估 ★★；AB-6.3 黎曼和、求和记号与定积分记号 ★★；AB-6.4 FTC 与累积函数 $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ ★★；AB-6.5 由面积解读累积函数的极值与凹凸 ★★★；AB-6.6 定积分的性质 ★；AB-6.7 用反导数求定积分 ★；AB-6.8 反导数与不定积分基本公式 ★；AB-6.9 换元积分（定积分换元后改积分限）★★；AB-6.10 长除法与配方法 ★★；AB-6.14 积分方法的选择与综合 ★★（CED 6.11–6.13 分部积分、部分分式、反常积分为 BC 专属，AB 不考）。

学习活动：读（离屏 9 h）CED Unit 6 + OpenStax Vol 1 的 4.10、5.1–5.7，Vol 2 的 3.6（梯形法）；看（屏幕 5 h）Khan Unit 6 + 3Blue1Brown 积分与 FTC 两集；做（屏幕 5 h + 离屏 16 h）微关 + 表格黎曼和 / 梯形和 20 题 + 累积函数读图 15 题 + 换元 30 题 + 每周 2 道 FRQ（表格题与累积题交替）。

本单元产出：积分表手写一页（基本公式 + $\int \frac{dx}{x^2+a^2}$ 型），Anki 建卡；一页"累积函数 $g$ 与被积函数 $f$ 的对照"（$f$ 正负 ↔ $g$ 增减，$f$ 增减 ↔ $g$ 凹凸）。

微关示例题

1. $t$ = 0, 2, 5, 9（小时）时 $r(t)$ = 4, 7, 5, 8（加仑/小时）。求左和、右和、梯形和估计 ${\int }_0^{9}r(t)dt$，写出含义。 答案要点： 左和 $4\cdot 2+7\cdot 3+5\cdot 4=49$；右和 $7\cdot 2+5\cdot 3+8\cdot 4=61$；梯形和 55。含义："the total amount of water, in gallons, that flowed in from $t=0$ to $t=9$ hours"。区间不等宽，每段宽度要分别乘。
2. 求 $\frac{d}{dx}{\int }_1^{x^2}\cos tdt$。 答案要点： $\cos (x^2)\cdot 2x$；漏乘 $2x$ 是本单元头号错误。
3. 求 ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx$。 答案要点： $u=x^2$，$du=2xdx$，积分限 $0\to 0$、$1\to 1$；$\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{u}du=\frac{e-1}{2}$。
4. 求 $\int \frac{x^2+1}{x+1}dx$ 与 $\int \frac{dx}{x^2+9}$。 答案要点： 长除法 $\frac{x^2+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$，积分得 $\frac{x^2}{2}-x+2\ln |x+1|+C$；$\frac{1}{3}\arctan \frac{x}{3}+C$。两题都不能漏 $+C$。

易错与陷阱：$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x^2}f(t)dt$ 忘乘 $2x$；不定积分漏 $+C$；换元后上下限不换；梯形和写成左右和平均以外的公式（区间不等宽时尤其容易错）。

AI 导师用法

你是我的累积函数教练，只提示不给答案。请用文字描述一个分段线性函数 f 在 [0, 8] 上的图像（给出各顶点坐标），
令 g(x) = ∫_0^x f(t) dt。问我：g(2)、g(8)、g 的增减区间、g 的相对极值、g 的拐点，每问都要 Justify。
我作答后你只判对错；错了就问我"这一段 f 的面积是正还是负"或"g' 是谁"，不给数值。

🚪 Unit 6 闸门：闭卷限时 70 分钟 = 22 题（16 无计算器 + 6 计算器）+ 1 道完整 FRQ 表格 / 累积题（官方评分标准 ≥ 85%）。费曼讲解："FTC 为什么把面积和反导数连起来"。白纸默画项：积分表。

Unit 7 · Differential Equations / 微分方程（占比 5–10%，第 24–25 周，约 14 小时）

AB 只考可分离变量方程：斜率场、通解、特解、指数模型。FRQ 几乎每年有一道"斜率场 + 分离变量 + 特解"。

知识点清单：AB-7.1 用微分方程建模情境 ★；AB-7.2 验证函数是否为解 ★；AB-7.3 画斜率场 ★；AB-7.4 用斜率场推理解的形态 ★★（CED 7.5 欧拉法、7.9 逻辑斯蒂模型为 BC 专属，AB 不考）；AB-7.6 分离变量求通解 ★★；AB-7.7 由初值求特解并写成 $y=f(x)$ ★★；AB-7.8 指数模型 $\frac{dy}{dt}=ky$ 与 $y=y_0{e}^{kt}$ ★★。

学习活动：读（离屏 4 h）CED Unit 7 + OpenStax Vol 2 的 4.1–4.3（跳过欧拉法与逻辑斯蒂）+ Vol 1 的 6.8；看（屏幕 2 h）Khan Unit 7；做（屏幕 2 h + 离屏 6 h）微关 + 手绘斜率场 6 张（方格纸、限时 5 分钟 / 张）+ 分离变量 15 题 + 每周 1 道 FRQ 微分方程题。

本单元产出：6 张手绘斜率场（每张标出 9–12 个点的斜率并画一条过指定点的解曲线）；一页"分离变量五步"（分离 → 两边积分 → 加 $C$ → 代初值 → 解出 $y$ 并写定义域）。

微关示例题

1. 解 $\frac{dy}{dx}=x{y}^2$，$y(0)=1$。 答案要点： $\int y^{-2}dy=\int xdx$，$-\frac{1}{y}=\frac{x^2}{2}+C$；代入得 $C=-1$；$y=\frac{2}{2-x^2}$（$-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$）。必须解出显式 $y=$。
2. $\frac{dy}{dt}=0.3y$，$y(0)=50$，写出 $y(t)$。 答案要点： $y=50e^{0.3t}$；讲清"变化率与现有量成正比 → 指数"。
3. $\frac{dy}{dx}=x-y$。求点 $(1,1)$、$(0,1)$、$(2,0)$ 处的斜率；过 $(0,1)$ 的解曲线在该点凹向哪边？ 答案要点： 斜率 0、$-1$、2；$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=1-\frac{dy}{dx}=1-x+y$，在 $(0,1)$ 为 2 > 0，concave up。

易错与陷阱：分离变量后两边积分只在一边写 $+C$ 没问题，但解出 $y$ 时把 $e^C$ 处理成 $C$ 漏正负；$\ln |y|$ 去绝对值不讨论；特解不写成显式 $y=$；斜率场只在 Desmos 上看、从不手画。

AI 导师用法

你是我的微分方程教练，只提示不给答案。给我 5 道可分离变量方程（含初值），其中 2 道解出后有定义域限制。
我按"分离 → 积分 → 加 C → 代初值 → 解出 y"五步作答，每步单独一行。
你只指出第一处错误在第几步，并问我一个问题引导我自查，不要写出正确的下一步。

🚪 Unit 7 闸门：闭卷限时 50 分钟 = 16 题（无计算器）+ 1 道完整 FRQ 斜率场 + 特解题（官方评分标准 ≥ 85%）。费曼讲解："为什么 $\frac{dy}{dt}=ky$ 的解是指数函数"。

Unit 8 · Applications of Integration / 积分的应用（占比 10–15%，第 26–29 周，约 28 小时）

核心是"写对 setup 积分式"：setup 写对就有分，算错也只丢结果分。

知识点清单：AB-8.1 函数平均值 ★；AB-8.2 位置、速度、加速度的积分关系，位移 vs 路程 ★★；AB-8.3 情境中的累积："末态 = 初态 + 积分" ★★；AB-8.4 关于 $x$ 的曲线间面积 ★；AB-8.5 关于 $y$ 的曲线间面积 ★★；AB-8.6 交点多于两个时的分段面积 ★★；AB-8.7 已知截面体积：正方形、矩形 ★★；AB-8.8 已知截面体积：三角形、半圆 ★★；AB-8.9 圆盘法（绕 $x$ 或 $y$ 轴）★★；AB-8.10 圆盘法（绕其他轴）★★；AB-8.11 垫圈法（绕 $x$ 或 $y$ 轴）★★；AB-8.12 垫圈法（绕其他轴）★★★（CED 8.13 弧长为 BC 专属，AB 不考）。

学习活动：读（离屏 7 h）CED Unit 8 + OpenStax Vol 1 的 5.2（平均值）、5.4（净变化）、6.1–6.2（面积、切片法求体积）；看（屏幕 4 h）Khan Unit 8，体积题配 Desmos 3D 演示（可达性同 Desmos）；做（屏幕 4 h + 离屏 13 h）微关 + 面积与体积 setup 30 题（只写积分式不求值，训练速度）+ 每周 1–2 道 FRQ 面积 / 体积或运动题。

本单元产出：一页体积 setup 总表（截面法、圆盘、垫圈，绕坐标轴与绕 $y=k$ / $x=h$ 各一例，含半径的写法）；30 道 setup 题的答卷。

微关示例题

1. $v(t)=t-2$，$0\le t\le 4$。求位移与路程。 答案要点： 位移 ${\int }_0^4(t-2)dt=0$；路程 ${\int }_0^4|t-2|dt=4$。位移与路程是两个不同的积分。
2. 求 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成区域的面积；该区域绕 $y=-1$ 旋转的体积。 答案要点： 面积 ${\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{6}$；垫圈法外半径 $x+1$、内半径 $x^2+1$，$V=\pi {\int }_0^1[(x+1{)}^2-(x^2+1{)}^2]dx=\frac{7\pi }{15}$。半径是"轴到曲线的距离"。
3. 以 $y=\sqrt{x}$、$x$ 轴、$0\le x\le 4$ 围成的区域为底，垂直于 $x$ 轴的截面是正方形，求体积。 答案要点： ${\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=8$。
4. 求 $x=y^2$ 与 $x=y+2$ 围成的面积。 答案要点： 交点 $y=-1,2$；关于 $y$ 积分：${\int }_{-1}^2(y+2-y^2)dy=\frac{9}{2}$。关于 $x$ 积分要分两段，关于 $y$ 更省事。
5. $f(x)=x^2$ 在 $[0,3]$ 上的平均值。 答案要点： $\frac{1}{3}{\int }_0^3{x}^{2}dx=3$。

易错与陷阱：绕 $y=k$ 旋转时半径写成 $f(x)$ 而非 $f(x)-k$ 或 $k-f(x)$；路程与位移混；关于 $y$ 积分时忘把曲线改写成 $x=g(y)$；计算器题只写数值不写 setup 式。

AI 导师用法

你是我的积分应用教练，只提示不给答案。用文字描述 6 个平面区域（给出曲线方程与边界），
分别要求：面积（2 道，1 道须关于 y 积分）、截面体积（2 道）、绕非坐标轴的垫圈体积（2 道）。
我只写 setup 积分式，不求值。你只检查积分限、被积式与半径，指出第一处错误并问我
"旋转轴到这条曲线的距离怎么表示"，不给正确积分式。

🚪 Unit 8 闸门：闭卷限时 70 分钟 = 20 题（14 无计算器 + 6 计算器）+ 1 道完整 FRQ 面积 / 体积题（计算器部分，官方评分标准 ≥ 85%）。费曼讲解："垫圈法的半径为什么是'轴到曲线的距离'而不是函数值"。白纸默画项：体积 setup 总表。

5. FRQ / 作品任务专训

本科目没有作品任务；Section II 是 6 道纸答 FRQ，每题 9 分，占全卷 50%（Part A 2 题需计算器 / 30 分钟，Part B 4 题无计算器 / 60 分钟）。

六类常见题型（源包口径）

采分规则怎么用

• setup 分：积分或导数表达式写对就有分，即使后面算错；用计算器时必须先写出被积式与积分限再给数值，只写数字拿不到 setup 分。
• 数值：保留三位小数，中间值不提前四舍五入。
• 含义题：数值 + 单位 + 时刻或区间 + 情境对象，四个要素齐全。
• 定理题：先写条件满足（如"$f$ 在 $[a,b]$ 连续且在 $(a,b)$ 可导"），再下结论。
• 记号：$\frac{dy}{dx}$、$dx$、积分上下限、等号只连接真正相等的量。

标准说理句（抄进错题本首页，每周默写一次）

f has a relative maximum at x = c because f' changes from positive to negative at x = c.
The graph of f is concave up on (a, b) because f' is increasing on (a, b).
Because f is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), by the Mean Value Theorem there exists c in (a, b) with f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).
The particle is speeding up at t = 2 because v(2) and a(2) have the same sign.
∫ from 0 to 5 of R(t) dt ≈ 43.217 is the total amount of water, in gallons, that flowed into the tank from t = 0 to t = 5 hours.

每周篇数与节奏

AI 批改的边界与真人复核频率

• 可以交给 AI（L3）：把官方 scoring guidelines 的采分点逐条列出、判"得 / 不得"、检查 setup 式、单位、三位小数与记号。
• 不能交给 AI：判断你的说理句在阅卷人眼里是否"足够"——AI 常把缺条件的句子判为得分；也不能让 AI 代写说理句。
• 必须真人的环节：① 每月至少 1 套 FRQ 手写稿送志愿导师或付费数学老师（¥100–300/月），重点看说理句与记号；② 每次单元闸门的费曼讲解要有真人听众；③ 全真 #3 由家长或小队队长全程见证。
• 小队互评（每周）：交换手写稿按官方评分标准互评，分歧处回原文 scoring guidelines 判定；队长轮值。

FRQ 自评表示例（变化率 / 累积题，9 分；采分点为示意，以当年评分标准为准）

6. 模考与毕业闸门

• 🎓 科目毕业测试 = 全真 #3（或其后的换卷重测）综合得分 ≥ 85%（相当于稳 5 分）。未达线 → 按"错题 → 知识点编号"对照表回炉后重测；不达线不得进入下一门依赖课程（AP-1.3 Calculus BC 的 BC 专属部分、AP 物理 C 等）。
• 计时：所有全真模考按 2027 结构：MCQ 29 题 62 分钟 + 13 题 38 分钟；FRQ 2 题 30 分钟 + 4 题 60 分钟。旧年份 FRQ 的题目本身不受结构调整影响。
• 录屏与见证：全程录屏（桌面 + 计时器 + 纸面）；FRQ 在方格纸上作答后拍照；家长或小队队长线上同屏见证，无见证的成绩不计入闸门。
• 冷却规则：任何闸门或模考不过 → 冷却 48 小时，只做错题对应知识点的重学与备用变式；同一闸门两次不过 → 本单元重学（U1–U4、U7 各 1 周，U5、U6、U8 各 1.5 周）后第三次考。

7. 报名与考务（社会考生）

本节日期以当年官网为准（AP Central / Prometric 中国 / HKEAA），每年 8 月复审。本课默认在 Year 2 考：第一届学生的 Year 2 对应 2027-28 学年、2028 年 5 月考试，届时日期未公布；下文以 2026-27 考季为例。

三条渠道

时间线（自己盯）

• 9 月：定本年 AP（3–4 门，并行 ≤ 4 门）；在 AB 与 BC 之间做最终选择（同年只能报一门）；盯 Prometric 开放公告。
• 10 月：确认科目、缴费；装 Bluebook 跑一次练习考。
• 11 月：缴费截止（HKEAA 11/2、Prometric 约 11 月中、美国学校 11/13）。缴费门槛 = U1–U3 闸门全过（默认路线第 9 周完成）。同月有 AMC 12，见第 10 节第 11 条。
• 12 月：阶段模考 ≥ 70%。3 月：设备体检（Bluebook + 内置 Desmos）；迟订截止 3/12。
• 5 月：两周考期 5 月 3–7 日、10–14 日；AP Calculus AB 为 2027 年 5 月 10 日（周一）Session 1，以官网为准。6 月：送分 6/20 前指定。7 月：出分。

费用（截至 2026-09-05 的口径）：美国境内 $98/科（2026）；境外考点往年标价 $128/科，2026-27 未核实；大陆 Prometric 通道费用未核实。

设备与考务

• 考点提供设备；选择题与 FRQ 题面在 Bluebook 中显示，FRQ 写在纸质答题册上。
• 计算器：Section I Part B 与 Section II Part A 必须用图形计算器，Bluebook 内置 Desmos 即可；也可带 College Board 许可清单内的手持图形计算器（清单未核实，开学前核对）。其余部分禁用。
• 不提供公式表；不需要耳麦；无 Digital Portfolio 组件。退费与补考：大陆通道不退费、无补考。

8. AI 使用规范

默认级别 L3（可协作但须标注）。分环节：

三个提示词模板（可直接复制）

① 讲解模板

你是我的 AP Calculus AB 导师。规则：只提示不给答案；在我说"给答案"之前不得写出最终数值、表达式或完整说理句。
我卡在知识点 <填 AB-x.y 编码> 的这一步：<粘贴题目、我的草稿与我想到的最后一步>。
请按顺序做三件事：1) 用一个问题确认我卡在哪一步；2) 给我一个更简单的同类例子让我自己做；
3) 我做完后只判断对错，再决定给下一个提示还是让我回原题。不得使用 BC 专属方法（分部积分、部分分式、级数）。

② 出题模板

你是我的 AP Calculus AB 出题官。按 CED 知识点 <填编码> 出 10 道题：6 道无计算器选择题、2 道需要图形计算器的题、
2 道 FRQ 小问（其中至少 1 道要求 Justify 或解释含义并带单位）。每题标注知识点编码与是否允许计算器。
不得出现 BC 专属内容。先只给题目；我逐题作答后，你每题只回"对/错 + 一句指向错因的提示"，全部答完再统一讲解。

③ 批改模板

你是 AP Calculus AB 的评分员。下面是官方 FRQ 题干、官方 scoring guidelines 与我的手写答案（已转成文字）。
1) 把本题 9 分拆成采分点清单，每点写成"应当出现的书面动作"；
2) 逐条只判"得分 / 不得分"，不得替我改写；
3) 单列"格式检查"：setup 式是否先于数值、是否三位小数、是否提前四舍五入、单位与时刻是否齐全、
   定理条件是否写出、有没有把不相等的量用等号连起来；
4) 对不得分项各给一句提示，指向题干里我没照做的那句话。我改完发第二版，你重评。

四层反馈在本课的落点

禁止项与诚信

• 18 岁前一律用本平台 AI 导师与国内可直接访问的大模型（DeepSeek、通义、智谱、豆包、Kimi），需监护人同意；不买"拼车号 / 代充号"。
• 闸门与模考期间使用 AI，该次成绩作废，冷却 48 小时后换卷重考。
• AI 生成的"模拟真题"只用于日常练习，不得用于毕业模考；AI 给的积分与导数结果一律用 Desmos 数值核对。

9. 全年周计划

第 1 周锚定为考季学年 9 月的第一个周一（2026-27 考季即 2026-09-07；Year 2 学生按自己的考季学年顺延）。默认 = 伽利略层、诊断 8–10 题，每周 6–8 小时；元旦与春节各留一周缓冲。

与三年课表的对应。 本课排在 Year 2：秋季 U1–U5、冬季 U6–U8、春季冲刺，与 Micro、Psych（或 Physics 1）、方向 AP（CSA 或 Stats）并行，同年并行 ≤ 4 门；Year 1 春季 AP-1.1 考完后预习 U1–U2、夏季预习 U1–U3。同年模块里的数学关联：2027-83 祖冲之与圆周率竞速（割圆术是极限思想的先声，接 U1 与 U6）。Year 3 的 2028-19 数学生物学 1、2028-75 流行病数学建模、2028-20 数学写作与证明表达把本课列为关联 AP，Year 2–3 可选的 2026-19 数学生物学 2 与 2026-75 生态学数学建模要求已学微积分。

三层速度的调整。

• 牛顿层：按总纲把本课放到 Year 3，先补 3–4 周 AP-1.1 核心，总周期 32 周；每学期 AP ≤ 2 门，每月真人反馈 2 次。
• 伽利略层：按上表执行。
• 爱因斯坦层：直接改走 AP-1.3 Calculus BC；若坚持 AB，按"有基础"把 U2–U3 压到 3 周（第 4–6 周），省下的 3 周投入 AMC 12 / AIME 或提前开始 FRQ 专项。

10. 本科目的"不知道的不知道"（8–12 条）

1. AB 与 BC 同年只能报一门；BC 的成绩报告里另附一个 AB 子分数。 —— 会踩是因为"先 AB 再 BC"听起来稳妥，实际多花一年、多付一次报名费，而 BC 本身就包含 AB 的全部内容；11 月报了 AB 之后想改 BC 也来不及。对策：9 月定科目前用诊断与方向做决定——科学 / 工程方向、爱因斯坦层直接走 AP-1.3 BC；AB 只给"数学不是主方向"或"每周给不出 8 小时"的学生。各校对 AB 与 BC 的学分折算差别很大（未核实，以各校 AP credit policy 为准）。
2. 2027 年起选择题从 45 题 / 105 分钟改为 42 题 / 100 分钟（29 + 13 题，62 + 38 分钟），而市面上的备考书、网课与历年讲解都按旧结构。 —— 会踩是因为用旧书的整卷练时间分配，考场节奏整体错位。对策：备考书只当题库，所有模考按新结构计时；Part A 以 2 分钟 / 题为节拍练。
3. Bluebook 里的图形计算器是 Desmos，而网上多数 AP 计算器教程教的是 TI-84 按键。 —— 会踩是因为照着 TI 教程学"fnInt""nDeriv"，到考场找不到对应按钮；Desmos 的定积分、某点导数值、交点的输入方式完全不同。对策：只在 Desmos 里练四项操作，第 12 周前每项 1 分钟内完成；3 月设备体检在 Bluebook 练习考里重做一遍。
4. 计算器 FRQ 的 setup 分要求先写出标准数学记号的积分或导数表达式，再给数值；只写结果或只写计算器输入语法，setup 分拿不到（以当年评分标准为准）。 —— 会踩是因为 Desmos 一键出数，习惯只抄一个 3.142。对策：计算器题的答卷格式固定为"${\int }_a^{b}r(t)dt$ = 数值（三位小数）+ 单位"；自评表单列 setup 一项。
5. 含义题要同时写出数值、单位、时刻或区间、情境对象四个要素，少一个就可能丢分。 —— 会踩是因为中文思维里"$R(3)=12$ 就是 3 时刻速率 12"已经够了，英文答卷却要写成 "At time t = 3 hours, water is flowing into the tank at a rate of 12 gallons per hour." 对策：第 4 单元起每周写 5 句含义句，AI 只检查四要素是否齐全。
6. 定理题先写条件再下结论：用 IVT、MVT、EVT 不写"$f$ 在 $[a,b]$ 连续（且在 $(a,b)$ 可导）"就不给分；表格题的可导性要引用题目给的条件。 —— 会踩是因为国内习惯"显然成立"，结论对了就以为得分。对策：三张定理卡（条件 + 结论 + 标准句）进 Anki；单元闸门的说理小问缺条件按错计。
7. 记号本身占分：FRQ 里 MP4 记号与表达占 10–25%，把不相等的量用等号串起来、漏 $dx$、定积分不写上下限都会扣分。 —— 会踩是因为草稿式写法（$f^{\prime }(x)=0=x=2$）在国内作业里没人管。对策：写完 FRQ 后逐行检查"等号两边是否真的相等"，小队互评专设"记号"一栏。
8. BC 卷里有几道 FRQ 与 AB 卷是同一题（题号逐年不同），其余是 BC 专属（级数、参数 / 极坐标、欧拉法、逻辑斯蒂、分部积分）。 —— 会踩是因为拿 BC 卷练 AB 时撞上专属题，以为自己没学好；或者把 BC 专属题算进 AB 模考拉低分数。对策：AB 模考只用 AB 卷；用 BC 卷补充训练时先按 BC 专属清单剔除。
9. 国内高中的导数课只覆盖 AB 的 U2–U5 的一部分；定积分与黎曼和、斜率场、截面体积、相关变化率、隐函数求导、洛必达，多数国内学生没系统学过（取决于教材版本）。 —— 会踩是因为"学过导数"的学生按复习速度推进，把 U6–U8 的时间也压缩掉。对策：按源包只允许压 U2–U3；U5 说理、U6 FTC、U8 体积与全部 FRQ 书写不压缩。
10. 斜率场、黎曼和的矩形、$f^{\prime }$ 图上的标注都要画在纸质答题册上，而你平时多在 Desmos 里看图。 —— 会踩是因为屏幕上看得懂，手画时斜率段长短不一、过点的解曲线穿过斜率段方向，读图题也来不及在纸上标区间。对策：U7 每周手绘 3 张斜率场，限时 5 分钟一张；所有读图题先在纸上标出 $f^{\prime }$ 的正负区间再作答。
11. AMC 12 在 11 月、AIME 在次年 2 月前后（需 AMC 成绩晋级）、Euclid（滑铁卢）在 4 月，分别压在 U4、U6–U7 与全真 #2 / #3 上。 —— 会踩是因为竞赛反馈即时、成就感强，很容易临时改主意去备赛，挤掉闸门与模考。对策：AMC 12 按 2026-74 模块另排时间或只作体验；Euclid 若与 4 月全真撞周则放弃；三项赛事的个人报名渠道、资格、日期与费用均未核实，由家长开学前核对。
12. 与 AP 物理 C 同年修时，物理 C 在本课 U6 积分学完之前就要用积分（功、冲量、变力）。 —— 会踩是因为按各自的单元顺序推进，物理 C 卡在"不会积分"上，被迫临时自学 U6。对策：同年修物理 C 的学生把本课 U6 提前到第 13 周开始、U5 后移；否则物理 C 放到学完 AB 之后的学年。

11. 学完之后

• 直接衔接：AP-1.3 Calculus BC 的 BC 专属部分（U6 分部积分 / 部分分式 / 反常积分、U7 欧拉法与逻辑斯蒂、U8 弧长、U9 参数 / 极坐标 / 向量值函数、U10 级数）——AB 5 分的学生约需一学期；AP 物理 C（力学与电磁学都需导数与积分）；大学微积分 II。与 AP-1.4 Statistics 无依赖，可随时开。
• 大学学分：多数美国大学对 AB 高分给一学期微积分学分或免修，BC 可能给两学期（未核实，以各校 AP credit policy 为准）。国内高校一般不认 AP 学分。
• 方向模块：Year 3 的 2028-19 数学生物学 1、2028-75 流行病数学建模（SIR 模型就是微分方程组）、2028-20 数学写作与证明表达（把本课的说理句升级为证明写作）；Year 2–3 可选 2026-19 数学生物学 2、2026-75 生态学数学建模（捕食者—猎物模型）；Year 2 的 2027-83 祖冲之与圆周率竞速（割圆术 → 极限）。
• 作品升级路径：用 Python 写一个"累积函数实验室"：输入一张变化率数据表，输出左 / 右 / 梯形和、误差随分割加细的收敛图，并用一个真实数据集（如某地一天的用电负荷，数据源未核实，开学前核对）解释"积分的含义 + 单位"。发到 Gitee 与作品集，README 写清数学原理、代码结构与"数值积分在哪里会失真"。
• 外部锚续接：AMC 12 → AIME；Euclid；数学建模竞赛（HiMCM / IMMC，报名渠道未核实）作为 Year 3 与 2028-75 模块的联动锚。

附录 A · 知识点编码总表（按单元，全部编码 + ★ 级）

"常见落点"一列按源包的 FRQ 题型表推断，仅作复习分配参考。编码中断处（6.11–6.13、7.5、7.9、8.13）为 BC 专属，AB 不考。

Desmos 四项必会操作（Part B 与 FRQ Part A，第 12 周前过关）

附录 B · 官方真题与样题清单（可得年份、题型、用途分配）

来源：AP Central 的 past-exam-questions 页（/courses/ap-calculus-ab/exam/past-exam-questions），提供多年 FRQ + scoring guidelines + 学生样卷 + 分数分布，免费、【直】。具体可得年份以页面为准（未核实），第 1 周全部下载，按年份建文件夹，最近三年立即封存。选择题官方不公开；AP Classroom 的 Progress Check 与教师端练习考对 exam-only 学生不可用。

MCQ 题源（官方不公开真题，只能拼）

附录 C · 术语表（中英对照）

附录 D · 版本与核验记录