AP 微积分 BCAP Calculus BC

一句话定位： 单变量微积分全程——AB 的全部内容 + 更多积分技巧、欧拉法与逻辑斯蒂、弧长、参数 / 极坐标 / 向量值函数、无穷级数，约等于美国大学微积分 I + II。 · 难度： ★★★（相对全部 AP：内容量大、节奏快，级数是整个高中数学里最抽象的一块）· 适合谁： 目标理工 / 经济 / 计算机方向、数学功底扎实、每周能保证 8 小时以上的学生；只走商科 / 社科的，AP-1.2 Calculus AB 已足够，不必硬上 BC。 · 在三年自学课程里的位置： 科学 / 工程方向的 Year 2 骨架 AP（与 Physics C Mech、Chem、Micro 并行）；软件 / AI 方向 Year 2 在 AB 与 BC 中二选一。 · 大陆可考： ✅ 纯考试、无作品任务。 · 自学时长： 200–280 小时，完整版 32–40 周（每周 8–10 小时）；已学 AB 并毕业（≥ 85%）者走 BC-only 路线，80–120 小时、12–16 周。

0. 课程卡片

1. 这门课对自学者意味着什么

定位与难点。 BC 比 AB 多出的不是"更难的计算"，而是"更多的对象"（参数曲线、极坐标、级数）和更快的节奏：同样 3 小时 10 分钟覆盖 10 个单元，无计算器选择题 29 题 62 分钟，平均每题 2 分钟出头——速度是隐形考点。FRQ 里"论证与说理（MP3 Justification）"占 35–60%、"记号与表达（MP4）"占 10–25%，将近一半 FRQ 分数取决于你写出来的句子和式子。英文阅读量不大，但级数单元的抽象程度是整个高中数学里最高的。

自学者特有的三个失败点（来自评分行）：

1. 级数收敛判别与误差界写不完整。 会判断收敛不等于拿分：阅卷要求说出判别法名称、逐条验证条件，误差界要写成 $|R_n|\le \cdots$ 的不等式并代入具体值。对策：U10 所有题强制"名称 + 条件 + 结论"三段式；闸门 FRQ 按采分点逐条自评。
2. 参数 / 极坐标面积公式硬背出错。 $\frac{1}{2}$ 漏掉、积分限让图形重复覆盖、速率与 $\frac{dy}{dx}$ 混用。对策：每道极坐标题先画图标交点与扫过区域再写式；公式进 Anki，但 U9 闸门的费曼题考的是"这个式子为什么这样写"。
3. 跳过 AB 直接 BC，基础有洞。 BC 把 U1–U5 权重压缩，默认你 AB 基础很稳；国内高三学过导数的人最容易在说理与单位上系统性失分。对策：先修诊断 + U1–U5 闸门一个不免；国内背景者只可压缩计算练习量，说理句与 FRQ 书写一题不少。

什么时候该推迟或放弃（止损线）。

• 推迟一年：4 月全真 #2、#3 两次都不到 85%——报名费损失，成绩单不损失。
• 降级为 AB：10 月下旬缴费前，若 U1–U4 闸门未全过，或已落后周计划 ≥ 3 周，本年改报 AP-1.2 AB，BC 专属内容下一年走 BC-only 路线。
• 不该放弃的假信号：U10 前两周"判别法太多、分不清"是正常的，画出决策树后会突然清楚；U6 分部积分前 20 题慢也正常。

2. 先修诊断（10 题）

闭卷、纸笔、限时 45 分钟（第 10 题上机），第 1 周做。

判定与补洞路径。

• 9–10 题对（第 10 题必须对）：直接进 Unit 1；已学 AB 并毕业者走第 9 节的 BC-only 路线。
• 6–8 题对：错在 1–5 → 用 2 周补 OpenStax Precalculus 2e 第 3、4、7 章（有理函数、指对、三角方程）；错在 6–9 → 用 1.5 周补第 8 章（极坐标、参数方程、向量）与第 11 章（数列与级数）。补完重做一套平行题再开课。
• ≤ 5 题对：不要开 BC。先完成 AP-1.1 Precalculus（至少其 Unit 3–4），或本年改学 AP-1.2 AB。
• 第 10 题不过：第 1 周把 Desmos 用熟（画图、求交点、求零点、数值积分、存变量），这一条不打折。

3. 资源栈

国内替代与离线策略。

• 第 1 周做"资源连通性自检"：CED 下载、past-exam-questions 页、OpenStax PDF、AP Videos 播放、Bluebook 练习考、desmos.com；结果记进档案，不通的按上表换【替】一行。
• 离线包（3-2-1 备份）：CED、OpenStax Calculus 三卷 PDF、所有能下到的历年 FRQ 与评分标准、自制公式卡。下完后本课断网可推进 85% 以上内容。
• 视频一律不作主线；B 站搬运随时可能下架，只当卡壳时的补丁。

明确不用的资源及原因。

• AP Classroom 的 Personal Progress Check：官方规则是教师布置后才能打开，exam-only 学生基本用不到，不把复习计划建在它上面。
• "资源包""网盘 PDF"里的整套旧卷：多为盗版或授权不明，新旧版本混杂，本课不使用、不推荐。
• 国内高考导数压轴题与竞赛放缩技巧：训练的是构造与放缩，不是 AP 的多表征与书面论证，不作为主线。
• AI 现编的"模拟真题"：可做日常变式（L3），不得用于毕业模考。

4. 单元学习路线

全课屏幕 / 离屏约 3 : 7：微积分以纸笔为主，屏幕只用于看讲解、Desmos 与 AI 核对。每 30–40 分钟离开书桌休息 10 分钟；单次连续做题不超过 90 分钟；微关与闸门全部在纸上完成。

三级闸门统一规则（下文各单元不再重复）：① 微关：每个知识点 8–12 题全对才过；错 1 题回看该点做备用变式，错 ≥ 2 题重学该点。② 🚪 单元闸门：单元结束 48 小时后考，合书限时综合卷（变式 + 陷阱 + 跨知识点综合）。总纲底线是闭卷 ≥ 80%，本科目沿用 AP 大纲更严的判定：全对即过；错 1 题回看并做 3 道备用变式全对后补过；错 ≥ 2 题本单元重学。自 Unit 4 起每卷含 1 道完整 FRQ，按官方评分标准须 ≥ 8/9；另加 2 分钟费曼讲解（小队或家长当听众）。两次不过 → 冷却 48 小时 + 错题重学 + 换卷。③ 🎓 毕业：见第 6 节。闸门与模考一律 L1 禁 AI。◆ 表示 BC 专属（AB 不考）。

Unit 1 · Limits and Continuity / 极限与连续（占比 5–10%，第 1–3 周，约 16 小时）

• 知识点（★ 为难度）：
  • BC-1.1 从平均变化率到瞬时变化率；极限的定义与记号、单侧极限（introducing limits; limit notation）★
  • BC-1.2 由图像与表格估计极限（estimating limits from graphs and tables）★
  • BC-1.3 极限的代数性质与代数变形求极限：因式分解、有理化、通分（limit properties; algebraic manipulation）★
  • BC-1.4 求极限方法的选择；夹逼定理与 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$（selecting procedures; Squeeze Theorem）★★
  • BC-1.5 极限的多表征联系（connecting multiple representations of limits）★★
  • BC-1.6 间断点类型；点连续与区间连续；去除可去间断（discontinuities; continuity）★
  • BC-1.7 无穷极限与垂直渐近线；无穷远处极限与水平渐近线（infinite limits; limits at infinity）★★
  • BC-1.8 介值定理 IVT 的条件陈述与论证（Intermediate Value Theorem）★★
• 学习活动（屏幕 4 h / 离屏 12 h）：读 OpenStax Vol.1 第 2 章 2.1–2.4（2.5 ε-δ 定义不考，跳过）与 4.6；看 3Blue1Brown 极限一集；做：每个知识点微关；表格 / 图像估极限 20 题；分段函数连续性参数题 10 题；IVT 说理句 5 句（先写条件）。
• 本单元产出：① 极限方法决策卡（代入 → 因式分解 / 有理化 → 夹逼 → 无穷远处看最高次）；② 5 条 IVT 标准说理句（中英对照）；③ 错题本开张，每题标知识点编码。
• 微关示例题：
  1. 无穷远处。 求 ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x-3}$。 答案要点： $-2$。$x<0$ 时 $\sqrt{x^2}=-x$，分子化为 $-x\sqrt{4+1/x^2}$；答 $+2$ 就是漏了负号。
  2. 特殊极限。 求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{2x}$。 答案要点： $\frac{3}{2}$。写成 $\frac{3}{2}\cdot \frac{\sin 3x}{3x}$，再用 ${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$。
  3. 分段连续。 $f(x)=kx+1(x<2)$，$f(x)=x^2-k(x\ge 2)$，求使 $f$ 在 $x=2$ 连续的 $k$。 答案要点： $k=1$。左极限 $2k+1$，右极限与 $f(2)$ 都是 $4-k$，三者相等才连续；只验一侧会丢分。
  4. IVT 说理。 $f$ 在 $[1,4]$ 上连续，$f(1)=-2$，$f(4)=5$，是否一定有 $c\in (1,4)$ 使 $f(c)=3$？ 答案要点： 是。Because $f$ is continuous on $[1,4]$ and $f(1)=-2<3<5=f(4)$, by the IVT there is a $c$ in $(1,4)$ with $f(c)=3$。缺 continuous 即不得分。
• 易错与陷阱：$x\to -\infty$ 时 $\sqrt{x^2}=-x$ 漏负号；用 IVT 不写连续条件；分段函数参数题只验一侧极限；把"极限存在"当成"函数在该点有定义"。
• AI 导师用法：
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  你是我的 AP Calculus BC 导师，只提示不给答案；我说"给答案"前不得写出最终数值。
  按知识点 BC-1.4 与 BC-1.7 各出 5 道极限题，其中至少 3 道是 x→-∞ 且含根号的陷阱题。
  我每答一题，你只回"对/错 + 一句指向出错那一步的提示"；全部答完再按"代数变形错 / 符号错 / 方法选错"统计我的错误类型。
  

• 🚪 Unit 1 闸门：闭卷限时 40 分钟，20 题（14 道选择 + 6 道短答，含 ≥ 2 道 IVT / 连续性说理）；费曼讲解：讲清"极限存在、有定义、连续"三者关系，各举一个反例；白纸默写：连续的三个条件。

Unit 2 · Differentiation: Definition and Fundamental Properties / 导数的定义与基本性质（占比 5–10%，第 4–6 周，约 21 小时）

• 知识点：
  • BC-2.1 平均与瞬时变化率；导数的极限定义与记号（defining the derivative; notation）★
  • BC-2.2 由表格 / 图像估计某点导数；识别极限式对应的导数（estimating derivatives at a point）★★
  • BC-2.3 可导与连续的关系（differentiability and continuity）★★
  • BC-2.4 幂法则、常数、和差、常数倍法则（power rule; basic rules）★
  • BC-2.5 $\sin ,\cos ,e^x,\ln x$ 的导数（derivatives of basic functions）★
  • BC-2.6 乘法法则与除法法则（product and quotient rules）★
  • BC-2.7 $\tan ,\cot ,\sec ,\csc$ 的导数（derivatives of other trig functions）★★
• 学习活动（屏幕 5 h / 离屏 16 h）：读 OpenStax Vol.1 3.1–3.3、3.5、3.9；看 3Blue1Brown 导数几集；做：微关；"这个极限式是哪个函数在哪一点的导数"识别 15 题；表格对称差商 10 题；无计算器求导计时练（20 题 / 15 分钟，每周一次记成绩）。
• 本单元产出：① 求导公式默写卡（含 tan / cot / sec / csc）；② "可导 ⇒ 连续、反之不成立"的三张反例图（$|x|$、$x^{1/3}$、分段尖点）；③ 计时练成绩曲线。
• 微关示例题：
  1. 识别导数。 ${\lim }_{h\to 0}\frac{\ln (e+h)-1}{h}=$？ 答案要点： $\frac{1}{e}$。这是 $\ln x$ 在 $x=e$ 处的导数，关键是认出 $\ln e=1$。
  2. 表格估导。 $x=1,3,5$ 时 $f(x)=4,10,13$，估计 $f^{\prime }(3)$。 答案要点： $\frac{13-4}{5-1}=2.25$，用跨过 3 的对称差商；有情境时写单位。
  3. 分段可导。 $f(x)=x^2(x\le 1)$，$f(x)=2x-1(x>1)$，在 $x=1$ 可导吗？ 答案要点： 可导，$f^{\prime }(1)=2$。先验连续（左右极限与 $f(1)$ 都是 1），再比左右导数（都是 2）；只比导数不验连续是流程错误。
  4. 常数陷阱。 求 $\frac{d}{dx}\left(e^2+\ln 3+x^e\right)$。 答案要点： $e{x}^{e-1}$。$e^2$、$\ln 3$ 是常数，导数为 0。
• 易错与陷阱：除法法则分子顺序；对常数 $e^2$、$\ln 3$ 求导不为 0；表格估导数不用两侧对称差商；$\sec x$ 的导数写成 ${\sec }^{2}x$。
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  你是我的 AP Calculus BC 导师，只提示不给答案。
  出 8 道"下面的极限式是哪个函数在哪一点的导数？值是多少？"识别题（覆盖 BC-2.1、2.2、2.5），再出 4 道表格估导数题。
  我答完每题，你只说我属于"函数认错 / 点认错 / 计算错"哪一类，不直接说出正确函数。
  

• 🚪 Unit 2 闸门：闭卷 45 分钟，22 题；费曼讲解：可导一定连续、连续不一定可导，并各举例；白纸默写：导数极限定义的两种写法 + 六个三角函数导数。

Unit 3 · Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions / 复合、隐函数与反函数求导（占比 5–10%，第 7–8 周，约 14 小时）

• 知识点：
  • BC-3.1 链式法则，含多层复合与表格联用（chain rule）★
  • BC-3.2 隐函数求导与切线（implicit differentiation）★★
  • BC-3.3 反函数求导 $(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$（differentiating inverse functions）★★
  • BC-3.4 反三角函数的导数（inverse trigonometric functions）★★
  • BC-3.5 求导方法的选择与高阶导数，含隐函数二阶导数（selecting procedures; higher-order derivatives）★★
• 学习活动（屏幕 3 h / 离屏 11 h）：读 OpenStax Vol.1 3.6–3.8；做：链式法则"剥洋葱"30 题（每题先写层次再求导）；隐函数求导 15 题（含 5 道二阶）；反函数导数表格题 8 题。
• 本单元产出：① 反三角函数导数默写卡；② 一页隐函数二阶导数完整示范（含回代一阶结果与原方程）；③ 5 道自编链式法则表格题，交小队互做。
• 微关示例题：
  1. 链式。 $y=\sin \left(e^{2x}\right)$，求 $y^{\prime }$。 答案要点： $2e^{2x}\cos \left(e^{2x}\right)$，三层各乘一次。
  2. 隐函数切线。 $x^2+xy+y^2=7$，求 $(1,2)$ 处的 $\frac{dy}{dx}$。 答案要点： $y^{\prime }=-\frac{2x+y}{x+2y}=-\frac{4}{5}$；$xy$ 项要用乘法法则。
  3. 反函数。 $f(x)=x^3+x+1$，$g=f^{-1}$，求 $g^{\prime }(3)$。 答案要点： 先解 $f(a)=3$ 得 $a=1$，$g^{\prime }(3)=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{1}{4}$；写成 $\frac{1}{f^{\prime }(3)}$ 是头号错误。
  4. 隐函数二阶。 $x^2+y^2=25$，求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。 答案要点： $y^{\prime }=-\frac{x}{y}$，$y^{\prime \prime }=-\frac{y-x{y}^{\prime }}{y^2}=-\frac{x^2+y^2}{y^3}=-\frac{25}{y^3}$，必须回代。
• 易错与陷阱：链式法则漏内层导数；反函数导数代错点；隐函数二阶导忘回代一阶结果；$\arcsin x$ 导数的根号里写成 $1+x^2$。
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  你是我的 AP Calculus BC 导师，只提示不给答案。
  给我 6 道隐函数求导题（其中 3 道要二阶导数）和 4 道 (f^-1)'(b) 的表格题。
  我写出每一步后，你只检查三处："对 y 求导是否乘了 dy/dx""二阶导是否回代""反函数是否先找到 a"；用提问指出，不替我算。
  

• 🚪 Unit 3 闸门：闭卷 40 分钟，20 题；费曼讲解：隐函数求导为什么对 $y$ 求导要乘 $\frac{dy}{dx}$；白纸默写：反三角函数导数 + 反函数求导公式。

Unit 4 · Contextual Applications of Differentiation / 导数的情境应用（占比 5–10%，第 9–11 周，约 21 小时）

• 知识点：
  • BC-4.1 导数在情境中的含义与单位（interpreting the derivative in context）★
  • BC-4.2 直线运动：位置、速度、加速度，加速 / 减速判定（straight-line motion）★★
  • BC-4.3 非运动情境的变化率（rates of change in applied contexts）★★
  • BC-4.4 相关变化率：建模与求解（related rates）★★★
  • BC-4.5 局部线性与线性近似，高估 / 低估由凹凸判断（linearization）★★
  • BC-4.6 洛必达法则（L'Hospital's Rule）★★
• 学习活动（屏幕 5 h / 离屏 16 h）：读 OpenStax Vol.1 3.4、4.1、4.2、4.8；做：相关变化率 12 题（强制"画图 → 变量表 → 关系式 → 对 $t$ 求导 → 最后代值"五步）；直线运动判定 15 题；线性近似 + 高估低估 8 题；洛必达 10 题；本单元起每周 1 道官方 FRQ（运动 / 情境类，限时 15 分钟）。
• 本单元产出：① 12 份相关变化率五步手稿；② 运动判据卡（$v$ 与 $a$ 同号 → speeding up）；③ 2 份官方 FRQ 自评表。
• 微关示例题：
  1. 相关变化率。 球形气球体积以 $100{\text{cm}}^3/\text{s}$ 增加，$r=5$ cm 时半径增长多快？ 答案要点： $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$，$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{\pi }\approx 0.318$ cm/s；先求导后代值，带单位。
  2. 加速还是减速。 $v(t)=t^2-4t+3$，$t=1.5$ 时粒子在加速还是减速？ 答案要点： $v(1.5)=-0.75<0$，$a(1.5)=-1<0$，同号 → speeding up；"速度为负"不等于减速。
  3. 洛必达。 求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$。 答案要点： 两次都先写出 $\frac{0}{0}$ 型再用法则，结果 $\frac{1}{2}$；不写类型就用会被扣分。
  4. 线性近似。 $f(2)=5$，$f^{\prime }(2)=-3$，$f^{\prime \prime }>0$，估计 $f(2.1)$ 并判断高低估。 答案要点： $4.7$；凹向上时切线在曲线下方，是低估（underestimate）。
• 易错与陷阱：相关变化率先代值后求导；"速度为负"误为"减速"；洛必达不验不定式类型；情境答案漏单位或漏时刻。
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  你是我的 AP Calculus BC 情境题教练，只提示不给答案。
  出 5 道相关变化率题（圆锥水箱、路灯下的影子、靠墙下滑的长杆、气球、两车距离各 1 道），要求我按"画图→变量表→关系式→对 t 求导→代值"五步作答。
  你只检查我是否在求导之前代入了会变化的量；若是，只回一句"哪个量在这一刻之后还会变？"。
  

• 🚪 Unit 4 闸门：闭卷 50 分钟：18 道选择 / 短答 + 1 道官方运动或情境类 FRQ（≥ 8/9）；费曼讲解：speeding up 的判据；白纸默写：五步模板。

Unit 5 · Analytical Applications of Differentiation / 导数的分析应用（占比 10–15%，第 12–14 周，约 22 小时）

• 知识点：
  • BC-5.1 中值定理 MVT 与极值定理 EVT；临界点（MVT; EVT; critical points）★★
  • BC-5.2 单调区间与一阶导数检验法（increasing / decreasing; First Derivative Test）★
  • BC-5.3 候选点法求闭区间最值（Candidates Test）★★
  • BC-5.4 凹凸性、拐点与二阶导数检验法（concavity; inflection; Second Derivative Test）★
  • BC-5.5 $f$、$f^{\prime }$、$f^{\prime \prime }$ 互相画图、识图与联系（sketching and connecting $f$, $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$）★★
  • BC-5.6 最优化问题：建模与求解验证（optimization）★★★
  • BC-5.7 隐函数关系的行为：极值、凹凸（behaviors of implicit relations）★★★
• 学习活动（屏幕 5 h / 离屏 17 h）：读 OpenStax Vol.1 4.3–4.5、4.7；做：$f$、$f^{\prime }$、$f^{\prime \prime }$ 三图互画 12 组；说理句每天 3 句（极值、单调、凹凸、拐点、MVT 轮换）；最优化 8 题；官方"给 $f^{\prime }$ 图"类 FRQ 每周 1–2 道。
• 本单元产出：① 说理句模板卡（条件 → 依据 → 结论，中英对照 8 句）；② 12 组三图互画手稿；③ 3 份图像类 FRQ 自评表。
• 微关示例题：
  1. 极值说理。 $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x+2)$，$f$ 在哪里有局部极值？ 答案要点： $x=-2$ 处局部极小（$f^{\prime }$ 由负变正）；$x=1$ 处 $f^{\prime }$ 不变号，不是极值。说理必须点名"$f^{\prime }$ changes sign"。
  2. 候选点法。 $f(x)=x^3-3x$ 在 $[0,2]$ 上的最值。 答案要点： 候选 $0,1,2$，函数值 $0,-2,2$；最大 2（$x=2$），最小 $-2$（$x=1$）。漏端点即错。
  3. 拐点。 $f^{\prime \prime }(x)=x^2(x-3)$，拐点横坐标？ 答案要点： 只有 $x=3$；$x=0$ 处 $f^{\prime \prime }$ 不变号，不是拐点。
  4. MVT。 $f(x)=x^2$ 在 $[1,3]$ 上，求 MVT 保证的 $c$。 答案要点： 平均变化率 4，$2c=4$，$c=2$；先写"$f$ 在 $[1,3]$ 连续、在 $(1,3)$ 可导"。
• 易错与陷阱：极值说理不写"$f^{\prime }$ 变号"；拐点不验 $f^{\prime \prime }$ 变号；最值忘端点；MVT 不写条件；把 $f^{\prime }$ 的图当 $f$ 的图读。
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  你是 AP Calculus BC 阅卷员。下面是我为"说明 f 在 x=a 取极值 / 有拐点 / 满足 MVT"写的 6 个英文句子。
  逐句判断是否具备"条件 → 依据（指明 f' 还是 f'' 的哪种变化、哪个定理）→ 结论"三段，是否引用了题目给的函数名。
  只回"得分 / 不得分 + 缺哪一段"，不要替我重写。
  

• 🚪 Unit 5 闸门：闭卷 60 分钟：20 题 + 1 道"给 $f^{\prime }$ 图"的分析 FRQ（≥ 8/9）；费曼讲解：拐点为什么不等于 $f^{\prime \prime }=0$ 的点；白纸默写：一阶 / 二阶导数检验与候选点法的标准说理句。

Unit 6 · Integration and Accumulation of Change / 积分与累积变化（占比 15–20%，第 15–19 周，约 36 小时）

• 知识点（编码沿用 AP 大纲原节，6.9、6.10 不单列）：
  • BC-6.1 累积变化；黎曼和近似（左 / 右 / 中点 / 梯形）与高估低估（accumulation; Riemann sums）★★
  • BC-6.2 黎曼和、求和记号与定积分记号的对应；极限式转定积分（summation and definite integral notation）★★
  • BC-6.3 FTC 与累积函数 $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$、$g^{\prime }(x)=f(x)$（FTC and accumulation functions）★★
  • BC-6.4 由面积解读累积函数的极值、凹凸（behavior of accumulation functions）★★★
  • BC-6.5 定积分性质与 FTC 第二部分（properties of definite integrals）★
  • BC-6.6 反导数与不定积分基本公式（antiderivatives and indefinite integrals）★
  • BC-6.7 换元积分法，含定积分改限（substitution）★★
  • BC-6.8 长除法与配方法（long division; completing the square）★★
  • BC-6.11 ◆ 分部积分法 $\int udv=uv-\int vdu$，含循环型与表格法（integration by parts）★★
  • BC-6.12 ◆ 线性部分分式（仅不重复线性因子）（linear partial fractions）★★
  • BC-6.13 ◆ 反常积分：无穷区间与无界被积函数，写极限形式（improper integrals）★★★
  • BC-6.14 积分方法的选择与综合（selecting techniques for antidifferentiation）★★
• 学习活动（屏幕 8 h / 离屏 28 h；分三段）：6A（6.1–6.5，第 15–16 周）读 OpenStax Vol.1 5.1–5.4，做四种黎曼和表格题 12 道 + 累积函数图像题 10 道；6B（6.6–6.8，第 17 周）读 5.5–5.7，做无计算器积分计时练（20 题 / 25 分钟）；6C（6.11–6.14，第 18–19 周）读 Vol.2 3.1、3.4、3.7，做分部积分 12 题（含循环型）、部分分式 8 题、反常积分 8 题（一律写 $\lim$）；全程每周 1–2 道官方累积 / 表格类 FRQ。
• 本单元产出：① 积分方法决策树（换元 → 长除 / 配方 → 分部 → 部分分式 → 反常积分写极限）；② 20 行黎曼和高估 / 低估判断表；③ 4 份 FRQ 自评表。
• 微关示例题：
  1. FTC + 链式。 求 $\frac{d}{dx}{\int }_1^{x^2}\cos (t^3)dt$。 答案要点： $2x\cos \left(x^6\right)$；漏乘 $2x$ 是本单元头号易错。
  2. 分部积分。 求 $\int x{e}^{2x}dx$。 答案要点： $u=x$，$dv=e^{2x}dx$，得 $\frac{x}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$。
  3. 部分分式。 求 $\int \frac{dx}{(x-1)(x+2)}$。 答案要点： $A=\frac{1}{3}$，$B=-\frac{1}{3}$；结果 $\frac{1}{3}\ln |x-1|-\frac{1}{3}\ln |x+2|+C$。
  4. 反常积分。 求 ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}$。 答案要点： ${\lim }_{b\to \infty }\left(1-\frac{1}{b}\right)=1$；直接写"代入 $\infty$"会被扣分。
  5. 高估低估。 $f$ 在 $[a,b]$ 上递增且凹向上，左和、右和、梯形和各是高估还是低估？ 答案要点： 左和低估、右和高估、梯形和高估（凹向上时弦在曲线上方）。
• 易错与陷阱：$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x^2}f$ 漏乘 $2x$；分部积分 $u$、$dv$ 选反；反常积分直接代 $\infty$ 不写 ${\lim }_{b\to \infty }$；部分分式系数求错；换元后忘改积分限。
• AI 导师用法：
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  你是我的 AP Calculus BC 积分教练，只提示不给答案。
  给我 12 道不定积分，混合换元、长除/配方、分部积分（含循环型）、线性部分分式四类，不要告诉我每题属于哪类。
  我先只写"我选的方法 + 理由"，你只判断方法是否合适并追问一句；方法都对后我再计算，你最后只核对答案并统计我的方法误判次数。
  

• 🚪 Unit 6 闸门：闭卷 75 分钟：25 题（无计算器 18 + 计算器 7）+ 1 道累积情境 FRQ（≥ 8/9）；费曼讲解：FTC 如何把面积与反导数连起来，以及反常积分为什么必须写极限；白纸默写：分部积分公式、四种黎曼和的高估 / 低估判断表。

Unit 7 · Differential Equations / 微分方程（占比 5–10%，第 20–21 周，约 14 小时）

• 知识点（编码沿用原节，7.3、7.4 不单列）：
  • BC-7.1 用微分方程建模；验证解（modeling; verifying solutions）★
  • BC-7.2 画斜率场与用斜率场推理（slope fields）★
  • BC-7.5 ◆ 欧拉法近似解：$y_{n+1}=y_n+f(x_n,y_n)\Delta x$，步长表格（Euler's Method）★★
  • BC-7.6 分离变量法求通解（separation of variables）★★
  • BC-7.7 由初始条件求特解（particular solutions）★★
  • BC-7.8 指数模型 $\frac{dy}{dt}=ky$（exponential models）★★
  • BC-7.9 ◆ 逻辑斯蒂模型 $\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{L}\right)$：承载量、增长最快点 $P=L/2$、极限行为（logistic models）★★★
• 学习活动（屏幕 4 h / 离屏 10 h）：读 OpenStax Vol.2 4.1–4.4；做：斜率场手画 6 张（每张 ≥ 9 个点）；欧拉法表格 10 题（固定列：$n$ / $x_n$ / $y_n$ / 斜率 / $\Delta y$）；分离变量求特解 10 题（写成显式并注明定义域）；逻辑斯蒂读式读图 8 题；官方微分方程 FRQ 2 道。
• 本单元产出：① 欧拉法表格模板；② 6 张斜率场手稿；③ 一页"逻辑斯蒂三件事"（承载量、$P=L/2$ 增长最快、极限行为）；④ 2 份 FRQ 自评表。
• 微关示例题：
  1. 欧拉法。 $\frac{dy}{dx}=x+y$，$y(0)=1$，步长 0.5，估计 $y(1)$。 答案要点： 第一步斜率 1 → $y(0.5)\approx 1.5$；第二步用旧点 $(0.5,1.5)$ 斜率 2 → $y(1)\approx 2.5$。
  2. 分离变量。 $\frac{dy}{dx}=x{y}^2$，$y(0)=1$，求特解。 答案要点： $-\frac{1}{y}=\frac{x^2}{2}+C$，代入得 $C=-1$，$y=\frac{2}{2-x^2}$，$-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$。
  3. 逻辑斯蒂。 $\frac{dP}{dt}=0.4P\left(1-\frac{P}{800}\right)$，$P(0)=100$，求 ${\lim }_{t\to \infty }P$ 与增长最快时的 $P$。 答案要点： 800；$P=400$。直接读式子，不需要解方程。
  4. 指数模型。 $\frac{dy}{dt}=ky$，量每 5 年翻倍，求 $k$。 答案要点： $e^{5k}=2$，$k=\frac{\ln 2}{5}$。
• 易错与陷阱：欧拉法每步用了新点斜率；逻辑斯蒂题硬解方程；特解不写显式或不写定义域；积分后没立刻代初值求 $C$。
• AI 导师用法：
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  你是我的 AP Calculus BC 微分方程教练，只提示不给答案。
  出 4 道欧拉法题（步数 2–4，其中 1 题要我判断近似值偏大还是偏小）和 4 道分离变量求特解题。
  欧拉法我交一张表 [n | x_n | y_n | 斜率 | Δy]，你只指出第一处出错的行并问"这一行的斜率用的是哪个点？"；特解题只查我是否写成显式并给出定义域。
  

• 🚪 Unit 7 闸门：闭卷 50 分钟：16 题 + 1 道微分方程 FRQ（≥ 8/9）；费曼讲解：逻辑斯蒂曲线为什么在 $L/2$ 处增长最快；白纸默写：欧拉法递推式与逻辑斯蒂标准形式。

Unit 8 · Applications of Integration / 积分的应用（占比 5–10%，第 22–24 周，约 20 小时）

• 知识点（编码沿用原节，8.7–8.12 不单列）：
  • BC-8.1 函数平均值（average value）★
  • BC-8.2 用积分联系位置、速度、加速度：位移 vs 路程（motion using integrals）★★
  • BC-8.3 累积函数与定积分在情境中的应用（accumulation in applied contexts）★★
  • BC-8.4 曲线间面积：关于 $x$、关于 $y$、多交点分段（area between curves）★★
  • BC-8.5 已知截面的体积：正方形、矩形、三角形、半圆（volumes with cross sections）★★
  • BC-8.6 圆盘法与垫圈法：绕坐标轴与绕其他轴（disc and washer methods）★★★
  • BC-8.13 ◆ 平面光滑曲线弧长 ${\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$ 与路程（arc length; distance traveled）★★
• 学习活动（屏幕 5 h / 离屏 15 h）：读 OpenStax Vol.1 6.1–6.2、6.4（柱壳法 6.3 不在 CED 内，跳过）；做：位移 vs 路程 10 题；曲线间面积 10 题；截面体积 8 题；圆盘 / 垫圈（含绕 $y=k$、$x=h$）12 题；弧长 6 题；每周 1–2 道面积体积类 FRQ（计算器部分风格）。
• 本单元产出：① 6 张"半径 = 轴到曲线的距离"示意图；② 体积题设置清单（画图 → 截面 → 半径 / 边长表达式 → 积分限）；③ 3 份 FRQ 自评表。
• 微关示例题：
  1. 平均值。 $f(x)=x^2$ 在 $[0,3]$ 上的平均值。 答案要点： $\frac{1}{3}{\int }_0^3{x}^{2}dx=3$。
  2. 位移与路程。 $v(t)=t^2-4t+3$，$0\le t\le 5$。 答案要点： 位移 $\frac{20}{3}$；路程要在 $t=1,3$ 处分段取绝对值，$\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{20}{3}=\frac{28}{3}$。
  3. 垫圈法。 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的区域绕 $y=-1$ 旋转，求体积。 答案要点： 外半径 $x+1$、内半径 $x^2+1$，$V=\pi {\int }_0^1\left[(x+1{)}^2-(x^2+1{)}^2\right]dx=\frac{7\pi }{15}$。
  4. 弧长。 $y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$，$0\le x\le 3$。 答案要点： ${\int }_0^3\sqrt{1+x}dx=\frac{14}{3}$；根号里的 1 不能漏。
• 易错与陷阱：绕 $y=k$ 旋转半径忘减 $k$；关于 $y$ 积分不改写 $x=g(y)$；弧长被积式漏根号里的 1；路程直接积 $v$ 不取绝对值。
• AI 导师用法：
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  你是我的 AP Calculus BC 体积题教练，只提示不给答案。
  给我 6 道旋转体 / 截面体积题（至少 2 道绕 y=k 或 x=h），先只要求我写积分式、不计算。
  你只检查半径表达式与积分限，错了就问"轴在哪里？曲线在哪里？两者的距离怎么写？"；式子全对后我再用 Desmos 算到三位小数。
  

• 🚪 Unit 8 闸门：闭卷 60 分钟：18 题 + 1 道面积体积 FRQ（计算器部分风格，≥ 8/9）；费曼讲解：垫圈法半径为什么是"轴到曲线的距离"；白纸默写：垫圈公式与弧长公式。

Unit 9 · Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions / 参数方程、极坐标与向量值函数（占比 10–15%，第 25–26、28 周，约 22 小时）◆ 全单元 BC 专属

• 知识点：
  • BC-9.1 参数方程的定义与求导 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$（differentiating parametric equations）★★
  • BC-9.2 参数方程的二阶导数 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)/\frac{dx}{dt}$（second derivatives of parametric equations）★★★
  • BC-9.3 参数曲线的弧长 $\int \sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}dt$（arc length of parametric curves）★★
  • BC-9.4 向量值函数的定义与求导（vector-valued functions）★★
  • BC-9.5 向量值函数的积分（integrating vector-valued functions）★★
  • BC-9.6 平面运动：位置、速度、加速度向量、速率、路程、"何时向左运动"（motion with parametric and vector-valued functions）★★★
  • BC-9.7 极坐标的定义、互化与极坐标下的求导：$\frac{dy}{dx}$、$\frac{dr}{d\theta }$ 的含义（polar coordinates; differentiating in polar form）★★
  • BC-9.8 单条极坐标曲线围成的面积 $\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{2}d\theta$（area of a polar region）★★
  • BC-9.9 两条极坐标曲线之间的面积：先求交点，再分段（area between two polar curves）★★★
• 学习活动（屏幕 7 h / 离屏 15 h）：先用 1 天复习诊断题 7–9 对应的 Precalc 内容；读 OpenStax Vol.2 7.1–7.4、Vol.3 3.1–3.2 与 3.4 的平面部分；做：参数一、二阶导 12 题；平面运动 10 题（速率、路程、何时向左 / 向上，每题再用 Desmos 数值解一遍）；极坐标面积 10 题（先画图标交点与扫过区域）；官方参数 / 极坐标 FRQ 每周 2 道（按计算器 Part A 节奏：2 题 30 分钟）。
• 本单元产出：① "位置—速度—速率—路程"关系图；② 10 张极坐标面积手绘图（标积分限）；③ 一份 Desmos 文件：参数曲线 + 动点 + 速度向量（可公开，作替代锚作品）；④ 4 份 FRQ 自评表。
• 微关示例题：
  1. 参数求导。 $x=t^2$，$y=t^3-3t$：求 $t=2$ 处 $\frac{dy}{dx}$、水平切线点与 $t=1$ 处 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。 答案要点： $\frac{3t^2-3}{2t}$，$t=2$ 时 $\frac{9}{4}$；水平切线 $t=\pm 1$，点 $(1,-2)$、$(1,2)$；$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3(t^2+1)}{4t^3}$，$t=1$ 时 $\frac{3}{2}$——必须除以 $\frac{dx}{dt}$。
  2. 平面运动。 $\vec{r}(t)=⟨t^3-6t^2+9t,4t-t^2⟩$，$0\le t\le 4$：何时向左运动？$t=2$ 时速率？ 答案要点： $x^{\prime }(t)=3(t-1)(t-3)<0$，即 $1<t<3$；$t=2$ 时 $x^{\prime }=-3$、$y^{\prime }=0$，速率 3。
  3. 极坐标面积。 心形线 $r=2+2\cos \theta$ 围成的面积。 答案要点： $\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }(2+2\cos \theta {)}^{2}d\theta =6\pi$；忘 $\frac{1}{2}$ 就得 $12\pi$。
  4. 两曲线之间。 在 $r=3\sin \theta$ 内、$r=1+\sin \theta$ 外的面积。 答案要点： 交点 $\sin \theta =\frac{1}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$；$\frac{1}{2}{\int }_{\pi /6}^{5\pi /6}\left[(3\sin \theta {)}^2-(1+\sin \theta {)}^2\right]d\theta =\pi$；是"外方减内方"，不是"差的平方"。
• 易错与陷阱：参数二阶导直接对 $t$ 求导不除以 $\frac{dx}{dt}$；极坐标面积忘 $\frac{1}{2}$ 或积分限让图形重复覆盖；速率与 $\frac{dy}{dx}$ 混用；把 $\frac{dr}{d\theta }<0$ 误解为"$y$ 在减小"（它表示点在靠近原点）。
• AI 导师用法：
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  你是我的 AP Calculus BC 参数与极坐标教练，只提示不给答案。
  出 3 道平面运动题（问速率、路程、何时向左运动）和 3 道极坐标面积题（至少 1 道两曲线之间）。
  极坐标题我先交"交点 + 积分限 + 被积式"，你只检查三者是否一致，错了只问"θ 从哪里扫到哪里，区域才被扫过一次且只一次？"；运动题只查我有没有把速率写成 dy/dx。
  

• 🚪 Unit 9 闸门：闭卷 60 分钟：16 题 + 1 道参数 / 向量 / 极坐标 FRQ（本单元固定题型，≥ 8/9）；费曼讲解：速率为什么是 $\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}$ 而不是 $\frac{dy}{dx}$；白纸默写：参数二阶导、参数弧长、极坐标面积与两曲线间面积式。

Unit 10 · Infinite Sequences and Series / 无穷数列与级数（占比 15–20%，第 29–34 周，约 42 小时）◆ 全单元 BC 专属

全课最抽象、最后学、占比最高的单元，6 周锁死：10A 收敛判别（10.1–10.9，第 29–31 周）→ 10B 误差界与泰勒多项式（10.10–10.12，第 32 周）→ 10C 幂级数（10.13–10.15，第 33–34 周）。

• 知识点：
  • BC-10.1 收敛与发散级数的定义：部分和数列的极限（convergent and divergent series）★
  • BC-10.2 几何级数：$|r|<1$ 收敛、和 $\frac{a}{1-r}$（geometric series）★
  • BC-10.3 第 $n$ 项发散判别法（$n$th term test）★
  • BC-10.4 积分判别法（integral test）★★
  • BC-10.5 调和级数与 $p$-级数（harmonic series; $p$-series）★
  • BC-10.6 比较判别法与极限比较判别法（comparison tests）★★
  • BC-10.7 交错级数判别法（alternating series test）★★
  • BC-10.8 比值判别法（ratio test）★★
  • BC-10.9 绝对收敛与条件收敛（absolute vs conditional convergence）★★
  • BC-10.10 交错级数误差界 $|R_n|\le |a_{n+1}|$（alternating series error bound）★★
  • BC-10.11 泰勒多项式近似 $P_n(x)=\sum \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$，由表格 / 导数值构造（Taylor polynomial approximations）★★
  • BC-10.12 拉格朗日误差界 $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a{|}^{n+1}$（Lagrange error bound）★★★
  • BC-10.13 幂级数的收敛半径与收敛区间：比值法 + 端点单独检验（radius and interval of convergence）★★★
  • BC-10.14 常用麦克劳林级数：$e^x,\sin x,\cos x,\frac{1}{1-x}$ 及变形（Taylor / Maclaurin series）★★
  • BC-10.15 用幂级数表示函数：逐项求导、逐项积分、代换与乘法（representing functions as power series）★★★
• 学习活动（屏幕 9 h / 离屏 33 h）：读 OpenStax Vol.2 第 5 章 5.1–5.6（5.6 的根值判别法不在 CED 内，可跳）与第 6 章 6.1–6.4；Paul's Online Math Notes 的 Series 部分作第二读物（可达性未核实）；看 3Blue1Brown 泰勒级数一集；做：判别法 60 题（每题先写"判别法名称 + 条件是否满足"再下结论）；误差界 12 题（交错与拉格朗日各半）；由导数表构造泰勒多项式 10 题；收敛区间 12 题（端点逐个检验）；幂级数代换 / 逐项求导积分 10 题；官方级数 FRQ 每周 2 道。
• 本单元产出：① 判别法决策树（一页 A4，含每个判别法的适用条件）；② 常用级数表（$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\frac{1}{1-x}$ 及代换、逐项积分得 $\ln (1+x)$ 与 $\arctan x$）；③ 一份 Desmos 作品：$\sin x$ 与其 1、3、5、7 次泰勒多项式 + 误差带，可公开；④ 12 份级数 FRQ 自评表。
• 微关示例题：
  1. 极限比较。 判断 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n^2+1}$ 的敛散性。 答案要点： 与 $\sum \frac{1}{n}$ 极限比较：各项为正，$\lim \frac{n/(n^2+1)}{1/n}=1$，为正的有限数，调和级数发散 → 原级数发散。名称、"各项为正"、极限值三者缺一扣分。
  2. 交错级数。 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ 收敛吗？用 $S_4$ 近似和时误差多大？ 答案要点： $\frac{1}{n}>0$、递减、趋于 0 → 由 AST 收敛；$\sum \frac{1}{n}$ 发散 → 条件收敛；误差 $\le a_5=\frac{1}{5}$。
  3. 收敛区间。 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(x-2{)}^n}{n\cdot 3^n}$。 答案要点： 比值法得 $|x-2|<3$，即 $-1<x<5$；$x=5$ 时为调和级数发散，$x=-1$ 时为交错调和级数收敛 → $[-1,5)$。
  4. 构造泰勒多项式。 $f(0)=2$，$f^{\prime }(0)=-1$，$f^{\prime \prime }(0)=4$，$f^{\prime \prime \prime }(0)=6$，写出 $P_3(x)$。 答案要点： $2-x+2x^2+x^3$；二次项 $\frac{4}{2!}$、三次项 $\frac{6}{3!}$，忘除 $k!$ 是头号错误。
  5. 拉格朗日误差界。 用 $e^x$ 在 $x=0$ 处的二阶泰勒多项式估计 $e^{0.1}$，并证明误差小于 0.0002。 答案要点： $P_2(0.1)=1.105$；$|R_2|\le \frac{M}{3!}(0.1{)}^3$，$M$ 取 $e^x$ 在 $[0,0.1]$ 上的最大值 $e^{0.1}<1.2$，得误差 $<\frac{1.2\times 0.001}{6}=0.0002$。
  6. 级数运算。 由 $\frac{1}{1+t^2}$ 的级数得到 $\arctan x$ 的麦克劳林级数。 答案要点： $\frac{1}{1+t^2}=\sum (-1{)}^n{t}^{2n}$，逐项积分得 $\sum \frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}$；收敛半径 1，端点另验，结果为 $[-1,1]$。
• 易错与陷阱：用第 $n$ 项判别法证"收敛"（它只能证发散）；收敛区间忘验端点；拉格朗日误差界的 $M$ 取错（要取 $|f^{(n+1)}|$ 在区间上的最大值）；泰勒系数忘除 $k!$；把交错级数误差界用在非交错级数上；比较判别法不写"各项为正"。
• AI 导师用法：
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  你是我的 AP Calculus BC 级数阅卷员，只提示不给答案。
  逐个给我 15 个级数（混合几何、p-级数，以及需要比较 / 极限比较 / 交错 / 比值 / 积分判别的类型），不要提示该用哪个判别法。
  我的每个回答都包含：判别法名称 + 逐条写出的条件 + 结论（converges / diverges；收敛时再说 absolutely 还是 conditionally）。
  你只判"条件是否写全、结论是否与条件一致"，缺什么就问一句"这个判别法还要求什么？"。
  

• 🚪 Unit 10 闸门：闭卷 75 分钟：24 题 + 1 道级数 FRQ（泰勒多项式 + 收敛区间 + 误差界，≥ 8/9）；费曼讲解：比值判别法为什么对收敛区间端点无效；白纸默写：判别法决策树 + 4 个常用麦克劳林级数 + 两种误差界。

5. FRQ / 作品任务专训

本科目没有作品任务。Section II 是 6 道手写 FRQ、每题 9 分、共 54 分，占 50%。BC 卷历年固定含 1 道参数 / 向量 / 极坐标题（常在计算器部分）与 1 道级数题（常为第 6 题），其余 4 题与 AB 同类。

六大题型（位置为历年规律，非固定）：

评分标准怎么用（写法铁律，每次闸门都查）

1. 先写式后算数：积分 / 导数题先写出完整数学式（setup 分），计算器题再写三位小数；计算器语法（如 fnInt(...)）不算数学记号。
2. 说理三段式：条件 → 依据（点名 $f^{\prime }$ 还是 $f^{\prime \prime }$、哪个定理）→ 结论；定理题先写条件。
3. 含义题：带单位、带时刻，说清"谁在变化"。
4. 级数题：说出判别法名称并写出其条件；误差界写成 $|R_n|\le \cdots$ 的不等式并代入具体值。
5. 极坐标面积写完整的 $\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$；参数二阶导写出"除以 $\frac{dx}{dt}$"那一步。
6. 不空题：每一小问至少写出式子或说理框架；前问算错，后问用自己的结果继续做（评分标准常按"与前问一致"给分，以当年 scoring guidelines 为准）。

每周篇数与节奏

AI 批改的边界与真人复核频率

• 可以交给 AI（L3）：对照官方 scoring guidelines 列采分点、逐点判得分、指出漏写的条件与单位。数理 FRQ 的采分点核对，AI 较可靠。
• 不能只信 AI：① 手写稿拍照后 AI 可能认错符号（$\frac{1}{2}$、指数、积分限），造成假对 / 假错，所以先把关键式子打字再提交；② AI 对说理句往往偏宽松，"$f^{\prime }$ changes sign" 缺了方向或没点名函数，它也可能判得分。
• 必须真人：每月至少 1 道 FRQ（优先当月最弱题型）送数学老师或志愿导师复核（预算 ¥100–300/月），重点看说理是否充分、记号是否规范；每次单元闸门的费曼讲解要有真人听众。
• 小队互评（每周）：交换手写 FRQ，按官方评分标准互相打分，分歧处回原文判定。

FRQ 自评表示例（级数题，9 分，采分点为示意）

6. 模考与毕业闸门

• 报名门槛：10 月下旬缴费前 U1–U4 闸门已全过（满足总纲"Unit 1–3 闸门全过"）；12 月阶段模考 ≥ 70% 是后一半。
• 计分：模考百分比 = 50% × MCQ 正确率（按 42 题折算）+ 50% × FRQ 得分 / 54。≥ 85% 相当于稳 5 分。
• MCQ 题源：官方 MCQ 不公开，全真卷用 CED 样题 + 平台题库 + 一本付费题库拼成 42 题（29 无计算器 + 13 计算器），按 62 + 38 分钟计时；不用 AI 现编的题做毕业模考。
• 真题分配原则：FRQ 格式 2027 年未变，历年 6 题可直接组成 Section II；最近一年留给全真 #3、最近第二年给 #2、第三年给 #1，再往前用于单元训练与冲刺专练（附录 B）。
• 录屏与见证：全程录屏（桌面 + 计时器 + 纸面可见），家长或小队队长线上同屏见证；无见证的成绩不计入闸门。
• 冷却规则：任何闸门 / 模考不过 → 冷却 48 小时，只做错题对应知识点的重学与备用变式，不碰新内容；48 小时后换卷。未达毕业线者不得进入依赖本课的课程（大学微积分 III、线性代数、Physics C 的微积分部分）。

7. 报名与考务（社会考生）

没有协调员替你盯日期。以下日期以当年官网为准（AP Central / Prometric 中国 / HKEAA），每年 8 月复审。

• 考试日：2027 年考期为 5 月 3–7 日、10–14 日；本科目 2027 年 5 月 10 日（周一）Session 1，与 AB 同场次，以官网为准。
• 费用（截至 2026-09-05 核实的口径）：美国境内 98 美元 / 科（2026）；境外考点往年 128 美元 / 科，2026-27 未核实；大陆 Prometric 通道费用未核实。
• AB 还是 BC：同一年只能报一门；BC 成绩单附 AB 子分，多数大学用 BC 主分授予微积分 I + II 学分（逐校不同，未核实）。缴费后能否改科未核实，按第 10 节第 2 条在缴费前决定。
• 设备：选择题与 FRQ 看题都在考点设备的 Bluebook 内（大陆考点自 2025 年起 Bluebook 机考）；FRQ 答案写在纸质作答册对应题号的作答区（用笔要求以当年考生须知为准，未核实）。
• 计算器：Section I Part B 与 Section II Part A 必须使用图形计算器，其余部分禁用；Bluebook 内置 Desmos，不必买手持机；若自带手持机，须在官方批准清单内。
• 公式：不提供公式表。10 月装 Bluebook 跑一次练习考；3 月设备体检。退费与补考：大陆通道不退费、无补考；其他渠道以当年规则为准。
• AMC / AIME（可选第二锚）：AMC 10/12 通常 11 月举行，国内经承办机构（阿思丹）报名；AMC 10 限 10 年级及以下且未满 17.5 岁、AMC 12 限 12 年级及以下且未满 19.5 岁（MAA 规则，2026-27 未核实）；AIME 须 AMC 成绩达晋级线；费用与日期未核实。

8. AI 使用规范

默认级别 L3（可协作但须标注）。分环节：

三个提示词模板（可直接复制）

① 讲解模板

你是我的 AP Calculus BC 导师。规则：只提示不给答案；我说"给答案"之前，不得写出完整解答或最终数值。
我卡在知识点 <填 BC-x.y 编码>：<粘贴题目、我的已有步骤、我卡住的地方>。
请按顺序做三件事：
1) 用一个反问确认我卡在哪一步（只问一句）；
2) 给一个比原题更简单的同类例子，让我先自己做；
3) 我做完后，你再决定给下一个提示还是让我回到原题。
所有记号用 AP 的写法；涉及定理时提醒我先写条件。

② 出题模板

你是我的 AP Calculus BC 出题官。按 CED 知识点 <填编码> 出 10 道题：
4 道无计算器选择题（4 个选项）+ 2 道需要 Desmos 的计算器题 + 3 道短答说理题 + 1 道含"陷阱"的变式题。
每题标注考的知识点编码；不得超出 AP Calculus BC 范围（不出柱壳法、根值判别法、ε-δ 证明）。
先只给题目，不给答案。我逐题作答后，你每题只回"对/错 + 一句指向错因的提示"，等我全部答完再统一讲解。

③ 批改模板

你是 AP Calculus BC 的评分员。下面是官方 FRQ 题干、该题 scoring guidelines 的原文，以及我的作答（关键式子已打字）。
1) 先把每一小问的采分点列成"应当出现的可见书写动作"清单，分值与评分标准一致（每题共 9 分）；
2) 对每一项只判"得分 / 不得分"，不得替我改写；
3) 单列"书写违规检查"：是否只写了计算器语法、是否漏单位 / 漏时刻、说理是否缺条件、误差界是否写成不等式；
4) 对不得分项各给一句提示，指向题干或评分标准里我没照做的那句话。
我改完发第二版给你重评；第三版之后我才会说"给参考解答"。

四层反馈在本课的落点

禁止项与诚信

• 18 岁前一律用国内可直接访问的大模型（DeepSeek、通义、智谱、豆包、Kimi），须监护人同意；不买"拼车号 / 代充号"。
• 闸门与模考期间使用 AI，该次成绩作废并换卷重考。
• AI 写出的解答不得抄进作业或错题本；错题本里每一步都要能口述理由。
• AI 生成的"模拟真题"不得用于毕业模考。

9. 全年周计划

第 1 周锚定为 2026-08-03（周一），考试周为第 41 周（2027-05-10）。表中按每周约 7–8 小时排（全年约 275 小时，落在 200–280 的上沿）；源包建议的每周 8–10 小时是上限，多出来的时间只给错题本与 FRQ 重写，不加新内容。已在 Year 1 考后（5–7 月）按 D1 预习过 U1–U3 的，把省下的周数整体后移给 U10 与冲刺。

BC-only 路线（已学 AP-1.2 并毕业 ≥ 85% 者，12–16 周）：U6 BC 部分（BC-6.11–6.14）2 周 → U7 BC 部分（BC-7.5、7.9）1 周 → U8 弧长（BC-8.13）0.5 周 → U9 全部 3 周 → U10 全部 5–6 周 → 冲刺 3 周（全真 ≥ 85%）。只能在缴费前已确定报 BC 的前提下走这条路（同年只能报一门）。

与三年课表的对应。 本课排在 Year 2：科学 / 工程方向与 Physics C Mech、Chem、Micro 并行，软件 / AI 方向与 Micro、Psych、CSA 并行（每年 ≤ 4 门）。Year 1 的 Precalc 是前置；模块侧可配 2026-19 数学生物学 2（微分方程建模）、2028-71 无穷（级数观念）、2028-20 数学写作与证明表达（说理写作）。

三层速度的调整。

• 牛顿层：本年数学只考 AB，BC 专属单元放到 Year 3 走 BC-only 路线。
• 伽利略层：按上表执行。
• 爱因斯坦层：先学完 AB 内容（约 16 周）再走 BC-only 路线，省下的 4–6 周投入 AMC 12 / AIME 或提前预读 MIT 18.02 多元微积分；闸门与模考标准不降。

10. 本科目的"不知道的不知道"（8–12 条）

1. 2027 年 5 月起，BC 选择题从 45 题 / 105 分钟改为 42 题 / 100 分钟（Part A 29 题 / 62 分钟、Part B 13 题 / 38 分钟），而市面备考书与旧模考仍是旧题量。 —— 会踩是因为你按旧书整卷计时，配速和分数换算都是错的，而且无计算器部分平均每题只有约 2.1 分钟，比旧卷更紧。对策：全真卷一律按 29 + 13 重组、按 62 + 38 分钟计时；旧书整卷只当题库；第 6 节的计分公式按 42 题折算。
2. 同一年 AB 与 BC 只能报一门，而 10 月下旬缴费时你还没学到任何 BC 专属内容。 —— 会踩是因为"先按 AB 学、春天看情况再上 BC"的想法在报名日就失效了；大陆通道不退费，缴费后能否改科未核实。对策：缴费前用硬规则决定——U1–U4 闸门全过、且按第 9 节进度能在 3 月底前学完 U10 → 报 BC；否则报 AB，BC 专属内容下一年走 BC-only 路线。
3. 考场不提供公式表：常用麦克劳林级数、弧长、极坐标面积、欧拉法、两种误差界全靠记忆，还要记"适用条件"。 —— 会踩是因为平时开着 OpenStax 做题，公式"看着眼熟"，考场上 $\frac{1}{2}$ 和 $k!$ 最先丢。对策：Anki 三组卡（公式 / 级数表 / 判别法条件）；每个单元闸门都有白纸默写项；冲刺期每天默写一次常用级数表。
4. 国内教材的判别法名称与 AP 不同：达朗贝尔判别法即 ratio test，莱布尼茨判别法即 alternating series test，根值（柯西）判别法不在 CED 内。阅卷只认"说出判别法 + 验证其条件"。 —— 会踩是因为用同济《高等数学》或国内网课补级数的人，习惯写"由比值法知收敛"就结束，丢掉条件分；交错级数只说"交错"而不验"递减且趋于 0"。对策：做一张中英对照判别法卡（名称 / 条件 / 结论三栏）；所有级数题强制三段式；AI 批改提示词固定检查"条件是否写全"。
5. 计算器语法不被当作数学记号：只写 fnInt(...) 或"Desmos 算得 3.142"而不写出积分式，拿不到 setup 分。 —— 会踩是因为 Desmos 输入积分太方便，你会跳过写式子；还常把中间结果四舍五入后再算，最终答案偏离"三位小数正确"的要求。对策：计算器题三步走——先写标准数学式、再写三位小数答案、中间值在 Desmos 里存变量不手抄；自评表单列"setup 是否写出"。
6. FRQ 在屏幕上看题、在纸上作答，看屏—写纸的切换与找对作答区都要时间，而在家用打印 PDF 练不到这一点。 —— 会踩是因为你的计时数据全来自"纸对纸"，考场上每题多耗 1–2 分钟，6 题就是一道题的时间。对策：从 U9 起所有限时 FRQ 都把题目放在屏幕上、答案写在纸上，每题写在对应题号的页面；全真模考同时练"屏幕 Desmos + 纸面书写"的节奏。
7. 按学校的 AP 教学顺序，级数一般 3–4 月才学到；自学者最常见的失败是"学到级数时离考试只剩三周"。 —— 会踩是因为 U1–U5 学得顺，你会想"多巩固一下"，一路把 U10 挤到最后。对策：U10 的 6 周在周计划里锁死，最迟 2 月中开始；落后时只压缩 U1–U5 的练习量，不压 U9–U10；每次周复盘写下"距 U10 开始还有几周"。
8. 国内高三学过导数，不等于 U1–U5 可以跳：国内题练的是计算与构造，AP 的分在"条件 → 依据 → 结论"的书面论证与情境单位上。 —— 会踩是因为诊断卷的计算题你全对，产生"基础很稳"的错觉，结果 FRQ 说理题系统性丢分。对策：国内背景者只压缩计算量，U1–U5 的说理句、闸门与 FRQ 书写一题不少（源包硬规则）。
9. 2020 年的 AP 微积分是 45 分钟网考特殊卷（只有 2 道题），不能当标准全卷用。 —— 会踩是因为按年份顺序分配真题时，很容易把它排进模考序列，得到失真的分数。对策：附录 B 把 2020 剔出全真卷序列，只把其中的题当单题练习。
10. 与 AP Physics C 同年修时，物理会比本课更早用到积分与微分方程。 —— 会踩是因为科学 / 工程方向 Year 2 同修 BC 与 Physics C Mech，功、冲量、转动惯量要用积分，阻力问题要用分离变量，而本大纲 U6 要到 12 月中、U7 到 12 月底才学完。对策：物理把需要积分的章节排在 12 月之后；或 10 月先用 1 周预读 U6 的 BC-6.1–6.7 专供物理使用；两门课的错题本分开记。
11. AIME 不考微积分，而且要先在 11 月的 AMC 10/12 达到晋级线才有资格参加。 —— 会踩是因为评分行把 AIME 列为本课外部锚，但它锚的是代数、数论与组合的解题力，不是 BC；11 月的 AMC 又正好压在 U5 与缴费期上。对策：只有 AMC 12 已接近晋级线的人把 AIME 当第二锚；其他人用"公开的 Desmos 级数作品 + 讲解视频"作替代锚。

11. 学完之后

• AP 分数与大学学分：多数美国大学用 BC 主分授予微积分 I + II 学分或免修，部分学校要求分班考或只给一学期（逐校不同，未核实）；AB 子分在只认 AB 的学校有用。国内高校一般不认 AP 学分，但它是申请材料里的硬证据。
• 直接衔接的 AP：AP Physics C 力学 / 电磁学（微积分全面用上）；AP-1.4 Statistics（若尚未修）。
• 大学课程自学：MIT OCW 18.02 多元微积分（【慢】，网易公开课译制【替】，集数与在线状态未核实）→ 线性代数 → 常微分方程；也可选中国大学 MOOC 上 985 高校的高等数学（下）作中文对照。
• 方向课程与模块：2028-71 无穷（把级数放进更大的数学观念里）、2028-20 数学写作与证明表达（把 FRQ 说理升级为证明写作）、2026-19 数学生物学 2（用微分方程建疾病与种群模型）。
• 作品升级路径：把 U9、U10 的 Desmos 作品整理成一组公开作品（参数运动、极坐标面积、泰勒逼近与误差带），每件配 200 字说明与 3 分钟讲解视频；README 必含：对应知识点编码、交互说明、一个常见误解及纠正。这是"替代锚"的完整版。
• 外部锚续接：AMC 12 → AIME；数学建模赛（HiMCM / IMMC，报名渠道与年龄要求未核实）把微分方程用到真实问题上。

附录 A · 知识点编码总表（按单元，全部编码 + ★ 级）

编码沿用 AP 大纲原节（6.9、6.10、7.3、7.4、8.7–8.12 不单列）；◆ = BC 专属。

高频失分点 Top 5 → 编码对照（模考后按此归因）：① 级数题不写判别法与条件、用第 $n$ 项判别法证收敛、不验端点 → BC-10.3–10.9、10.13；② 误差界不写不等式、$M$ 取错 → BC-10.10、10.12；③ 参数二阶导、极坐标面积与速率 → BC-9.2、9.6、9.8–9.9；④ 反常积分、分部积分、部分分式的流程错误 → BC-6.11–6.13；⑤ 说理缺"条件 → 依据 → 结论"、计算器题不写 setup、含义题无单位 → BC-1.8、4.1、5.1–5.4。

附录 B · 官方真题与样题清单（可得年份、题型、用途分配）

来源：AP Central 的 Calculus BC past-exam-questions 页，提供历年 FRQ + scoring guidelines + 学生样卷 + 分数分布，全部免费、【直】；部分年份另有 Form B（海外卷）可作补充（未核实）。选择题官方不公开，只有 CED 样题。具体可得年份以页面为准（未核实），第 1 周下载时把实际拿到的年份填进下表。

MCQ 题源（只能拼卷）

附录 C · 术语表（中英对照）

附录 D · 版本与核验记录