AP 预备微积分AP Precalculus

一句话定位： 以"函数如何变化"为主线重建高中代数与三角——多项式/有理、指数/对数、三角/极坐标三大函数族，考建模、多重表征与符号操作，外加约三分之一的"用英文句子说理"。 · 难度： ★★（内容不深，但题面全是情境与图表，比中国高一或新加坡 A-Math 的三角更"活"）· 适合谁： 代数 2 / 新加坡 A-Math / 中国高一数学学完、准备一年后考微积分的学生；想先拿一门 AP 练英文命题与 FRQ 书写习惯的学生。 · 在三年自学课程里的位置： 六个方向共同的 Year 1 骨架 AP，与 CSP（或 Python 项目路线）同年；前接 6 周数学衔接，后接 Year 2 的 AP-1.2 Calculus AB 或 AP-1.3 Calculus BC。 · 新加坡可考： ✅ Prometric Singapore 2027 考季列有本科目（5 月 11 日上午场），纯考试、无作品任务。 · 自学时长： 120–180 小时；默认 30 周（每周 5–7 小时），另有 6 周数学衔接。

课件包（2026-10-24 版）： 本大纲配套 43 课讲义（lessons/，Unit 1–3 考试单元 36 课、Unit 4 选学 7 课，讲解时长合计约 51 小时，不含练习与 FRQ 专训）、884 道原创 AP 风格题（questions.json：热身 86、例题 196、微关 499、单元闸门 77、毕业模考蓝图 26）与 304 条中英术语（glossary.json）；所有题目均为中英双语（stem + stem_en）。第 4 节每个单元下列出本单元课时链接。所有题目为原创，不含 College Board 原题。

0. 课程卡片

1. 这门课对自学者意味着什么

定位与难点。 这门课的计算量不大，难在三件事：读情境（题干是一张表、一段英文描述或一张图）、换表征（表 ↔ 图 ↔ 式 ↔ 文字）、写理由。考试三个数学实践的占比是 MP1 程序与符号运算 35–50%、MP2 多重表征 20–30%、MP3 交流与说理 30–40%——也就是说，一个只会算的人最多拿到六成。典型采分句是"因为在该区间上等长区间的平均变化率递增，所以图像上凹（concave up）"；只写"concave up"而没有以 because 开头的理由句，一般只拿一半。

自学者特有的三个失败点（来自评分行）：

1. 把它当"高一 / A-Math 复习"。 在中国或新加坡学过函数与三角的学生会觉得内容简单，于是只刷计算、不练建模和说理。结果选择题还行，FRQ 的 Q2/Q3 建模题四步（选模型 → 写式 → 求值 → 解释）只写了中间两步。
2. 忽视情境建模与 FRQ 书面解释。 没有老师逐句改英文理由句，自学者往往写成数字 + 箭头。对策写进硬规则：Unit 1 起每周至少 1 道带"Justify / Explain"的题，写成完整英文句子，并按第 5 节的自评表逐点对照。
3. 无计算器部分手算三角/指对不熟。 Part A 选择题 29 题 65 分钟、FRQ Part B 两题都禁用计算器；特殊角函数值、对数运算律、换底、解指数方程要像乘法表一样熟。对策：Anki 卡组 + 每天 10 道无计算器速算。

什么时候该推迟或放弃（止损线）。

• 推迟一年的硬线： 4 月全真 #2、#3 两次都不到 85%（见第 6 节）——报名费损失，成绩单不损失。
• 改路线的止损线： 6 周数学衔接的两次闸门都没过，或 Unit 1 闸门两次不过且错题集中在"读表算平均变化率、判凹凸"上——说明函数与变化率的语言没建立，本年只考 CSP（牛顿层做法），Precalc 推到 Year 2。
• 可以直接跳过本科目的情形： 数学诊断 > 90% 且已学过导数的学生，按总纲"Precalc 可被 Calc AB 覆盖"直接在 Year 1 学 AP-1.2 Calculus AB，把本课的 Unit 3 后半（极坐标、正弦建模）当 AB 前的 3 周补课。
• 不该放弃的假信号： Unit 3 前两周（弧度制、单位圆、正弦族变换）觉得乱是正常的，这是全课最长的单元，不要在这里换课。

2. 先修诊断（10 题）

闭卷、纸笔、限时 40 分钟、禁计算器（第 3 题的近似值除外），第 1 周做。

判定与补洞路径。

• 8–10 题对，且第 3、7 题都对： 跳过数学衔接，第 3 周直接从 PC-1.1 开始（"有基础"），Unit 1–2 的微关可每点 8 题。
• 5–7 题对： 走 6 周数学衔接（总纲 Year 1 默认，与第 9 节第 1–6 周一致）：第 1 周诊断与自学操作系统；第 2–3 周二次函数、指数律、函数记号、变换与复合——Khan Academy Algebra 2 对应单元 + OpenStax Precalculus 2e 第 1 章 1.1–1.5；第 4 周指数与对数入门——OpenStax 第 4 章 4.1–4.3（新加坡学校 9 月假期前后可减量）；第 5–6 周三角入门——OpenStax 第 5 章 5.1–5.3 + 第 6 章 6.1。衔接期第 3 周末、第 6 周末各一次闸门（同题型换数，全对才过）。
• 第 3 或第 7 题错（不论总分）： 按源包的"零基础"处理——衔接期里先补 2 周代数 2 要点（二次函数、指数律、单位圆），Precalc 本体按 30 周走。
• ≤ 4 题对： 本年不考 Precalc（牛顿层），衔接延长到 10 周，Year 2 再开本课。
• 第 9 题错： 不影响进度，但从第 1 周起每天读 2 段官方 FRQ 题干并用中文复述，4 周后重测一道同类题。

3. 资源栈

新加坡可以正常访问 YouTube、Google、Khan Academy、College Board 各站，本表不再按"可达性"筛选，只按质量排主次；每行标费用、账号与年龄要求、版本与核验日期。不推荐盗版或"资源包"。

离线与备份策略。

• 第 1 周做"资源自检"：CED 下载、past-exam-questions 页、OpenStax PDF、Khan 课程页、AP Classroom 视频（先建 College Board 账号）、Bluebook 练习考、Desmos。结果记进档案。
• 离线包（本地 + 外置盘 + 云盘，3-2-1）：CED PDF、Clarifications and Corrections PDF、OpenStax Precalculus 2e PDF、所有能下载的 FRQ 与评分标准 PDF、GeoGebra 安装包。下完后本课断网仍可推进 80%。
• 视频不作主线：AP Daily 与 Khan 只当"卡壳时的补丁"，每段视频后必做同点题。

明确不用的资源及原因。

• AP Classroom 的 Personal Progress Check 与 AP Precalculus Practice Exam：需教师布置才能打开，exam-only 学生不可用，不把复习计划建立在它上面。
• 按"大学预科代数 + 三角"编写的老教材与 2023 年以前的"Precalculus"备考书：没有残差、半对数图、极坐标变化率这些 CED 特有内容，也不训练说理句。
• 网上流传的"AP 真题合集"与任何网盘题库：盗版、新旧结构混杂，本课不使用、不推荐。
• AI 现编的"模拟真题"：可以做变式练习（L3），不得用于毕业模考。

4. 单元学习路线

全课屏幕 / 离屏约 4 : 6：屏幕用于 Desmos 操作、视频与平台微关；离屏用于读教材、纸笔演算、手写 FRQ 与默写。每 30–40 分钟离开屏幕 10 分钟（远眺 + 起身）；所有微关题先纸笔做完再上平台核对。周次按第 9 节默认路线（第 1–6 周为数学衔接）。单元闸门的通用规则：单元结束 48 小时后考，闭卷限时，L1 禁 AI；总纲底线是 ≥ 80%，本科目沿用 AP 大纲更严的标准——全对才过，错 1 题回看对应知识点做备用变式（变式全对即过），错 ≥ 2 题本单元重学后换卷；两次不过 → 冷却 48 小时 + 错题重学 + 换卷。费曼讲解 2 分钟必须有真人听众（小队或家长）。

Unit 1 · Polynomial and Rational Functions / 多项式与有理函数（占比 30–40%，第 7–13 周，约 40 小时）

本单元课时： U1-L01 协同变化与凹凸（PC-1.1，60 分钟）；U1-L02 平均变化率与割线（PC-1.2，60 分钟）；U1-L03 线性与二次变化率（PC-1.3，60 分钟）；U1-L04 多项式极值与拐点（PC-1.4，75 分钟）；U1-L05 零点重数与奇偶性（PC-1.5，75 分钟）；U1-L06 多项式端点行为（PC-1.6，60 分钟）；U1-L07 有理零点与垂直渐近（PC-1.8,PC-1.9，75 分钟）；U1-L08 有理函数的洞（PC-1.10，60 分钟）；U1-L09 水平斜渐近与长除法（PC-1.7,PC-1.11，90 分钟）；U1-L10 函数变换（PC-1.12，60 分钟）；U1-L11 模型选择与构建（PC-1.13,PC-1.14，90 分钟）。

知识点清单（沿用 AP 大纲编码，★ 为难度）

• PC-1.1 协同变化与函数的增减、凹凸 ★；PC-1.2 区间平均变化率与割线斜率 ★；PC-1.3 线性与二次函数的变化率 ★
• PC-1.4 多项式的局部/全局极值与拐点 ★★；PC-1.5 实零点、重数与复零点、奇偶性 ★★；PC-1.6 多项式端点行为与 ${\lim }_{x\to \pm \infty }$ 记号 ★
• PC-1.7 有理函数端点行为与水平/斜渐近线 ★★；PC-1.8 有理函数的零点 ★；PC-1.9 垂直渐近线与单侧极限 ★★；PC-1.10 有理函数的"洞" ★★
• PC-1.11 等价形式：因式、标准式、多项式长除法 ★★；PC-1.12 函数变换 ★；PC-1.13 模型选择与假设表述 ★★；PC-1.14 模型构建与应用 ★★★
• 2026-27 CED 澄清要点（2026-10 核实）：区分增减区间的开闭不考（EK 1.1.A.3–1.1.A.4 排除说明）；限制定义域时，包含的端点也可能是局部极值点（EK 1.4.A.2）；偶数次多项式必有全局最大值或全局最小值（EK 1.4.A.4）；平均变化率是从 $(a,f(a))$ 到 $(b,f(b))$ 的割线斜率（EK 1.3.A.3）。
• 必背结论：$n$ 次多项式至多 $n$ 个实零点、至多 $n-1$ 个极值点；奇重数零点穿过 $x$ 轴、偶重数相切；分子次数 < 分母 → $y=0$，= → 首项系数比，多 1 → 斜渐近线（长除法）；"平均变化率的平均变化率"为正 ⟺ 上凹。

学习活动（读 / 看 / 做）

• 读（离屏 8 h）：CED Unit 1 逐条打勾；OpenStax Precalculus 2e 1.3（变化率与图像行为）、1.5（变换）、3.2–3.7（二次、多项式、多项式除法、零点、有理函数）。
• 看（屏幕 6 h）：Khan AP Precalculus Unit 1 或 AP Videos 对应集；每看完一节立刻做 3 道同点题。
• 做（屏幕 10 h + 离屏 16 h）：① 每个知识点 8–12 题微关；② 纸笔"读表算平均变化率 → 判凹凸 → 写理由"20 题；③ 有理函数"洞 vs 垂直渐近线"判定 30 题；④ Desmos 五项计算器操作逐项练熟（回归并读参数、交点法解方程、区间最值与零点、表格读值、弧度/角度切换）；⑤ 第 10 周起每周 1 道 FRQ Q1 型题。

本单元产出

1. 函数族对照表 #1（A4 一页手写）：多项式与有理函数的定义、图像、零点、渐近线、端点行为、变化率特征。
2. 一份 Desmos 操作截图集：五项操作各 2 例，每例配一句"这一步读出了什么"。
3. 一份小建模：给定 6 个数据点，分别做二次与三次回归，写 80 词英文说明"选哪个、为什么、定义域限制是什么"（PC-1.13–1.14）。

微关示例题（附答案要点）

1. 读表判凹凸。 $x$ = 0, 1, 2, 3, 4 时 $f(x)$ = 2, 3, 6, 11, 18。$f$ 在 $[0,4]$ 上凹还是凸？说明理由，并给出一个符合数据的模型。 答案要点： 相邻等长区间的平均变化率依次为 1, 3, 5, 7，递增，所以 concave up；变化率每次增加常数 2，二次模型合适，$f(x)=x^2+2$ 逐点吻合。理由句必须写出"average rates of change over consecutive equal-length intervals are increasing"。
2. 洞与渐近线。 $r(x)=\frac{x^2-4}{x^2-x-2}$，求零点、洞、垂直与水平渐近线，并求 ${\lim }_{x\to -1^{+}}r(x)$。 答案要点： $r(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$；$x=2$ 处是洞，坐标 $(2,\frac{4}{3})$，不是渐近线；零点 $x=-2$；垂直渐近线 $x=-1$；水平渐近线 $y=1$；$x\to -1^{+}$ 时分子 → 1、分母 → $0^{+}$，极限为 $+\infty$。
3. 端点行为与重数。 $p(x)=-2(x+1{)}^2(x-3)$，写出两侧端点行为（用极限记号）、各零点处图像是穿过还是相切、极值点个数上限。 答案要点： 首项 $-2x^3$，${\lim }_{x\to \infty }p(x)=-\infty$，${\lim }_{x\to -\infty }p(x)=\infty$；$x=-1$（重数 2）相切，$x=3$（重数 1）穿过；至多 2 个极值点。两侧都要写。
4. 斜渐近线。 $f(x)=\frac{2x^2+3x-1}{x-1}$ 的斜渐近线是什么？ 答案要点： 长除法得 $f(x)=2x+5+\frac{4}{x-1}$，斜渐近线 $y=2x+5$。

易错与陷阱

• 把"洞"当垂直渐近线：必须先约去公因式再看分母零点。
• 把"concave up"说成"increasing"：凹凸讲的是变化率的变化，不是函数本身的增减。
• 端点行为忘用极限记号，或只写一侧。
• 读表时区间不等长也直接比较变化率（必须是等长区间）。

AI 导师用法（可直接复制的提示词）

你是我的 AP Precalculus 导师，规则：只提示不给答案；在我说"给答案"之前不得写出最终数值或完整推理。
请按 CED Unit 1 知识点 PC-1.7 到 PC-1.10（有理函数）出 10 道题：6 道"求零点/洞/渐近线/单侧极限"，
2 道"由图像写出可能的解析式"，2 道要求我用一句完整英文说明理由（以 because 开头）。
我逐题作答后，你每题只回"对/错 + 一句提示指向我错的那一步"；英文理由句另外判断
"是否写出了条件、依据、结论三部分"，缺哪部分就问我一个问题，不要替我改写。

🚪 Unit 1 闸门

• 闭卷限时 60 分钟综合卷：24 题 = 16 道无计算器选择题 + 6 道计算器选择题（含 1 道回归建模）+ 2 道 FRQ 小问（1 道读表判凹凸并写理由、1 道有理函数综合），含变式题与陷阱题。
• 题源对齐（课件版）：平台闸门题库本单元 19 题（questions.json 中 level: gate，14 选择 + 1 简答 + 1 数值 + 3 道 FRQ，其中 2 道需图形计算器：1 道选择、1 道 FRQ）。组 24 题卷时，以这 19 题为主卷，另从 U1-L04、U1-L11 的计算器微关题中抽 5 题补足计算器部分。
• 费曼讲解 2 分钟："为什么有理函数分子分母的次数关系决定了渐近线"，边讲边在方格纸上画三种情形。
• 白纸默画项：渐近线判定三规则 + "先约分再找洞"的流程图。

Unit 2 · Exponential and Logarithmic Functions / 指数与对数函数（占比 25–40%，第 14–20 周，约 40 小时）

本单元课时： U2-L01 等差与等比数列（PC-2.1，60 分钟）；U2-L02 指数函数及其图像（PC-2.2,PC-2.3，75 分钟）；U2-L03 指数代数与自然底e（PC-2.4，60 分钟）；U2-L04 指数情境建模（PC-2.5，75 分钟）；U2-L05 残差与模型验证（PC-2.6，75 分钟）；U2-L06 函数的复合（PC-2.7，60 分钟）；U2-L07 反函数（PC-2.8，75 分钟）；U2-L08 对数表达式与反函数（PC-2.9,PC-2.10，75 分钟）；U2-L09 对数函数图像（PC-2.11，60 分钟）；U2-L10 对数运算律与换底（PC-2.12，60 分钟）；U2-L11 指对方程与不等式（PC-2.13，90 分钟）；U2-L12 对数建模与半对数图（PC-2.14,PC-2.15，90 分钟）。

知识点清单

• PC-2.1 等差与等比数列 ★；PC-2.2 线性 vs 指数变化 ★；PC-2.3 指数函数 $f(x)=a{b}^x$ 的图像、渐近线与端点行为 ★
• PC-2.4 指数函数的代数操作（同底变换、$b^{x+k}$ 与 $b^{kx}$、自然底 $e$）★★；PC-2.5 指数情境与数据建模 ★★；PC-2.6 竞争模型的验证（残差）★★★
• PC-2.7 函数的复合 ★★；PC-2.8 反函数 ★★；PC-2.9 对数表达式 ★；PC-2.10 对数函数作为指数函数的反函数 ★；PC-2.11 对数函数的图像与性质 ★★
• PC-2.12 对数运算律与换底 ★；PC-2.13 指数与对数方程、不等式（含外来解检查）★★；PC-2.14 对数情境与数据建模 ★★；PC-2.15 半对数图 ★★★
• 必背结论：等比数列 $g_n=g_0{r}^n$（或 $g_n=g_k{r}^{n-k}$；这是 2026-27 CED 的记号，讲义 U2-L01 同此，2026-10 核实；EK 2.1.B.2）与 $f(x)=a{b}^x$ 的对应（中国教材写法 $a_n=a_1{r}^{n-1}$ 只是下标从 1 起算）；倍增期 $T={\log }_{b}2$ 或 $\ln 2/k$；${\log }_b(MN)={\log }_{b}M+{\log }_{b}N$、${\log }_b{M}^p=p{\log }_{b}M$、${\log }_{b}M=\frac{\ln M}{\ln b}$；$y=a{b}^x$ 在半对数图（$\log y$ 对 $x$）上是直线，斜率 $\log b$、截距 $\log a$。

学习活动

• 读（离屏 8 h）：CED Unit 2；OpenStax 11.1–11.3（数列）、1.4（复合）、1.7（反函数）、4.1–4.8（指数、对数、方程、建模与数据拟合）。残差与半对数图 OpenStax 没有系统讲，用 CED + Khan / Fiveable 对应节补。
• 看（屏幕 6 h）：Khan AP Precalculus Unit 2 或 AP Videos；只看卡壳的节。
• 做（屏幕 10 h + 离屏 16 h）：① 微关；② 每天 10 道无计算器指对速算（运算律、换底、解方程并检验真数）；③ 用 Desmos 对同一组数据做线性、二次、指数三种回归并画残差图，3 组数据；④ 手绘半对数图 1 张；⑤ 每周 1 道 FRQ（Q2 型非周期建模为主，与 Q1 型交替；阶段模考周与元旦周除外）。

本单元产出

1. 函数族对照表 #2（指数/对数：定义、图像、渐近线、端点行为、"加常数 vs 乘常数"的变化特征）。
2. 竞争模型报告：一组真实数据（如新加坡统计局 SingStat Table Builder 的历年人口或某项用户数，免费下载；具体表号未核实，开学前核对）做三种回归 + 残差图 + 150 词英文结论，发小队互评。
3. 一张手绘半对数图，标出斜率、截距及它们对应的 $a$、$b$。

微关示例题

1. 两点定指数。 $f(x)=a{b}^x$，$f(1)=6$，$f(3)=54$，求 $a$、$b$。 答案要点： $\frac{f(3)}{f(1)}=b^2=9$，$b>0$ 故 $b=3$，$a=2$，$f(x)=2\cdot 3^x$。要写出"$b>0$"这一步。
2. 对数方程与外来解。 解 ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$。 答案要点： 合并得 ${\log }_2[x(x-2)]=3$，$x^2-2x-8=0$，$x=4$ 或 $x=-2$；$x=-2$ 使真数为负，舍去，解为 $x=4$。
3. 半对数图。 数据在"${\log }_{10}y$ 对 $x$"的坐标下落在直线 ${\log }_{10}y=0.5x+1$ 上。写出 $y$ 关于 $x$ 的模型；有人说"增长因子是 0.5"，对吗？ 答案要点： $y=10\cdot (10^{0.5}{)}^x\approx 10(3.162{)}^x$；斜率 0.5 是 ${\log }_{10}b$，增长因子 $b=10^{0.5}\approx 3.162$，说法错误。
4. 反函数与倍增期。 求 $f(x)=3\cdot 2^x-1$ 的反函数及其定义域；年增长 8% 的量倍增需多少年（3 位小数）？ 答案要点： $f^{-1}(x)={\log }_2\frac{x+1}{3}$，定义域 $x>-1$（即 $f$ 的值域）；$T=\frac{\ln 2}{\ln 1.08}\approx 9.006$ 年。

易错与陷阱

• 解对数方程不检验真数为正。
• 把 $\log (a+b)$ 拆成 $\log a+\log b$。
• 半对数图的斜率误当作增长率本身（斜率是 $\log b$，不是 $b$）。
• 复合函数定义域只看外层，漏掉内层的限制。

AI 导师用法

你是我的 AP Precalculus 建模教练，只提示不给答案。
我会给你一张 8 行的数据表，以及我用计算器做出的线性、二次、指数三种回归参数（保留 3 位小数）和残差的正负号序列。
请你只做三件事：1) 问我"残差图有没有系统性图案、图案是什么形状"；
2) 根据我的回答追问"这说明哪个模型的假设被违反了"；
3) 检查我写的英文结论句是否同时包含：所选模型、残差证据、情境中的含义。
不要替我选模型，也不要替我写结论句。

🚪 Unit 2 闸门

• 闭卷限时 60 分钟综合卷：24 题 = 16 道无计算器（指对运算、方程、复合、反函数）+ 6 道计算器（含 1 道指数回归 + 残差判断）+ 2 道 FRQ 小问（1 道非周期建模、1 道写理由）。
• 题源对齐（课件版）：平台闸门题库本单元 20 题（17 选择 + 1 简答 + 2 道 FRQ，其中 6 道标"可用计算器"：5 道选择、1 道 FRQ）；组 24 题卷时另从 U2-L04、U2-L05 的微关题中抽 4 题（含 1 道计算器题）补足。
• 费曼讲解 2 分钟："为什么半对数图上指数函数是直线"——从 $\log y=\log a+x\log b$ 讲起。
• 白纸默画项：对数三条运算律 + 换底公式 + 两个倍增期公式。

Unit 3 · Trigonometric and Polar Functions / 三角与极坐标函数（占比 30–35%，第 21–29 周，约 50 小时）

全课最长最难的单元，含春节缓冲。要压缩只能压 Unit 1–2 的微关题量，本单元后半（PC-3.8–3.15）与所有建模题不减量。

本单元课时： U3-L01 周期现象（PC-3.1，60 分钟）；U3-L02 单位圆与弧度（PC-3.2，60 分钟）；U3-L03 特殊角与参考角（PC-3.3，60 分钟）；U3-L04 正余弦图像（PC-3.4，60 分钟）；U3-L05 正弦型函数（PC-3.5，75 分钟）；U3-L06 正弦变换与互换（PC-3.6，60 分钟）；U3-L07 周期情境建模（PC-3.7，90 分钟）；U3-L08 正切与倒数三角函数（PC-3.8,PC-3.11，75 分钟）；U3-L09 反三角函数（PC-3.9，60 分钟）；U3-L10 三角方程与不等式（PC-3.10，90 分钟）；U3-L11 三角恒等式（PC-3.12，90 分钟）；U3-L12 极坐标互化与图像（PC-3.13,PC-3.14，90 分钟）；U3-L13 极坐标变化率（PC-3.15，60 分钟）。

知识点清单

• PC-3.1 周期现象：周期、振幅、中线 ★；PC-3.2 单位圆上的正弦、余弦、正切；弧度制 ★；PC-3.3 特殊角函数值、参考角、象限符号 ★；PC-3.4 正弦与余弦图像 ★
• PC-3.5 正弦型函数 $a\sin (b(x-c))+d$ ★★；PC-3.6 正弦型函数的变换与 $\sin$/$\cos$ 互换 ★★；PC-3.7 周期情境与数据建模（正弦回归）★★★
• PC-3.8 正切函数 ★★；PC-3.9 反三角函数的定义域/值域限制 ★★；PC-3.10 三角方程与不等式 ★★★；PC-3.11 正割、余割、余切 ★★；PC-3.12 三角恒等式与等价形式 ★★★
• PC-3.13 极坐标与直角坐标互化 ★；PC-3.14 极坐标函数图像（圆、玫瑰线、心脏线、蚶线）★★；PC-3.15 极坐标函数的变化率 ★★★
• 必背结论：$|a|$ = 振幅 = (最大 − 最小)/2，周期 $2\pi /|b|$，$d$ = 中线 = (最大 + 最小)/2，$c$ = 相移（本课与讲义统一写 $a\sin (b(x-c))+d$；CED EK 3.6.A.1 写作 $a\sin (b(\theta +c))+d$，此时水平平移为 $-c$，2026-10 核实）；极坐标：$r>0$ 且递增或 $r<0$ 且递减 → 点离原点越来越远（EK 3.15.A.1）；${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 及两个变形；$\sin (\alpha \pm \beta )$、$\cos (\alpha \pm \beta )$、$\sin 2\theta$ 与 $\cos 2\theta$ 的三种形式；$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,r^2=x^2+y^2$；$\arcsin$ 值域 $[-\pi /2,\pi /2]$、$\arccos$ 值域 $[0,\pi ]$、$\arctan$ 值域 $(-\pi /2,\pi /2)$。

学习活动

• 读（离屏 10 h）：CED Unit 3；OpenStax 5.1–5.3（角、单位圆、其余三角函数）、6.1–6.3（图像、反三角）、7.1–7.3 与 7.5–7.6（恒等式、和差角、二倍角、解三角方程、三角建模）、8.3–8.4（极坐标与极坐标图像）。
• 看（屏幕 7 h）：Khan AP Precalculus Unit 3 或 AP Videos；极坐标图像配 Desmos 动态演示。
• 做（屏幕 12 h + 离屏 21 h）：① 微关；② 前两周每天默写单位圆 16 个特殊角坐标；③ 三角方程 30 题（写通解 + 指定区间内的解）；④ 恒等式证明 15 题；⑤ 手绘 6 张极坐标图并列 $r$–$\theta$ 表；⑥ 第 22 周起每周 1–2 道 FRQ（Q3 型周期建模与 Q4 型符号操作交替，春节周除外，本单元各 4 道）；⑦ L5 审计练习：让通用 AI 解 5 道带区间的三角方程，逐题找出它漏掉或多出的解，写成错误类型表。

本单元产出

1. 函数族对照表 #3（三角/极坐标）。
2. 正弦建模报告（本课的公开辅锚作品）：取一个四季分明城市（如你的家乡或北京、伦敦）12 个月的月平均气温（各国气象部门公开数据，具体来源未核实，开学前核对；注意新加坡全年气温变化只有约 2–3°C，振幅太小不适合本作业），或改用 NEA 网站公布的新加坡潮汐时刻与潮高（数据来自 MPA，2026-10 核实：nea.gov.sg 潮汐页；新加坡多为半日潮且两次高潮不等高，只取一天内的一个完整周期建模），先用"最大/最小/周期"手算四参数，再用 Desmos 正弦回归，对比两组参数、画残差、用英文写 200 词解释，发到个人作品集网站。
3. 6 张极坐标手绘图 + 一页"$r$ 的正负与离原点距离增减"的判断表。

微关示例题

1. 摩天轮建模。 最高 52 m、最低 2 m、转一圈 12 分钟，$t=0$ 时在最低点。写 $h(t)$；第一圈中何时高于 39.5 m？ 答案要点： $h(t)=-25\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+27$（等价写法 $25\sin \left(\frac{\pi }{6}(t-3)\right)+27$）；$h>39.5⟺\cos \frac{\pi t}{6}<-\frac{1}{2}⟺\frac{2\pi }{3}<\frac{\pi t}{6}<\frac{4\pi }{3}$，即 $4<t<8$ 分钟。振幅、中线、$b$ 的来源都要写。
2. 三角方程。 在 $[0,2\pi )$ 内解 $2{\sin }^2\theta -\sin \theta -1=0$。 答案要点： $(2\sin \theta +1)(\sin \theta -1)=0$；$\sin \theta =1\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{2}$；$\sin \theta =-\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$。共三个解，漏一个即不得分。
3. 恒等变形。 证明 $\frac{\cos 2\theta }{\cos \theta -\sin \theta }=\cos \theta +\sin \theta$（在有定义处）。 答案要点： $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =(\cos \theta -\sin \theta )(\cos \theta +\sin \theta )$，约去非零因子。要选对 $\cos 2\theta$ 的形式并注明 $\cos \theta \ne \sin \theta$。
4. 极坐标。 把 $(r,\theta )=(-2,\frac{\pi }{3})$ 化为直角坐标；$r=3\sin 2\theta$ 在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 与 $(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 上离原点的距离分别怎样变化？ 答案要点： $x=-2\cos \frac{\pi }{3}=-1$，$y=-2\sin \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}$，即 $(-1,-\sqrt{3})$；前一区间 $r>0$ 且递增 → 距离增大，后一区间 $r>0$ 且递减 → 距离减小。
5. 反三角。 求 $\arcsin (\sin \frac{5\pi }{6})$ 与 $\arccos (-\frac{1}{2})$。 答案要点： $\frac{\pi }{6}$（不是 $\frac{5\pi }{6}$，因为 $\arcsin$ 值域是 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$）；$\frac{2\pi }{3}$。

易错与陷阱

• 计算器忘切弧度模式。
• 周期写成 $b$ 而不是 $2\pi /b$；把中国教材写法 $A\sin (\omega x+\phi )$ 的 $\phi$ 当成水平平移（平移量是 $-\phi /\omega$）。
• 反三角求解只给一个象限的解，漏写通解 $+2\pi k$。
• 极坐标里 $r<0$ 的点画错位置（应画在 $\theta +\pi$ 方向）。

AI 导师用法

你是我的 AP Precalculus 三角教练，只提示不给答案。
请出 6 道三角方程（2 道因式分解型、2 道需要恒等式先变形、2 道情境题"在 [0, T] 内何时高于某值"），
每题指定求解区间，全部用弧度。我作答后你只检查两件事：解的个数对不对、每个解是否在区间内。
个数不对时只问我"单位圆上还有哪个角的正弦值也是这个数"，不要说出缺的是哪个解。
全部答对后，按"漏象限 / 漏周期 / 区间越界 / 代数变形错"给我一张错误统计。

🚪 Unit 3 闸门

• 闭卷限时 70 分钟综合卷：26 题 = 16 道无计算器（特殊角、反三角、恒等式、极坐标互化）+ 6 道计算器（含 1 道正弦回归）+ 4 道 FRQ 小问（周期建模 2 问、符号操作 2 问）。
• 题源对齐（课件版）：平台闸门题库本单元 20 题（16 选择 + 1 数值 + 3 道 FRQ），只有 1 道计算器题（弧度模式）；其余 5 道计算器题须从 U3-L07（正弦回归）、U3-L10（交点法解三角方程）、U3-L13 的微关题中抽取补足。
• 费曼讲解 2 分钟："正弦模型的四个参数各由数据的哪个特征决定"，拿自己的气温 / 潮汐报告讲。
• 白纸默画项：单位圆 16 个特殊角坐标 + 三组恒等式 + 三个反三角值域。

Unit 4 · Functions Involving Parameters, Vectors, and Matrices / 参数、向量与矩阵（官方不考，选学；默认排在 5 月考后 4 周，约 16 小时）

本单元不计入 AP 考试。默认路线在 5 月考完后学，作为 Calculus BC 第 9 单元与线性代数的入口；诊断"有基础"、跳过数学衔接的学生可提前到第 26–29 周。

本单元课时： U4-L01 参数函数与平面运动（PC-4.1,PC-4.2,PC-4.3，90 分钟）；U4-L02 隐函数与圆锥曲线（PC-4.5,PC-4.6，75 分钟）；U4-L03 曲线的参数化（PC-4.4,PC-4.7，75 分钟）；U4-L04 向量与向量值函数（PC-4.8,PC-4.9，75 分钟）；U4-L05 矩阵运算逆与行列式（PC-4.10,PC-4.11，75 分钟）；U4-L06 线性变换与矩阵函数（PC-4.12,PC-4.13，75 分钟）；U4-L07 转移矩阵建模（PC-4.14，60 分钟）。

知识点清单

• PC-4.1 参数函数与消参 ★★；PC-4.2 参数函数描述平面运动 ★★；PC-4.3 参数函数的变化率与运动方向 ★★；PC-4.4 圆与直线的参数化 ★
• PC-4.5 隐函数及其图像 ★★；PC-4.6 圆锥曲线 ★★；PC-4.7 隐函数的参数化 ★★★
• PC-4.8 向量：分量、模、方向角、点积、单位向量 ★★；PC-4.9 向量值函数与位置/速度 ★★
• PC-4.10 矩阵运算 ★；PC-4.11 $2\times 2$ 矩阵的逆与行列式 ★★；PC-4.12 线性变换与矩阵 ★★；PC-4.13 矩阵作为函数（复合 = 乘法）★★★；PC-4.14 状态转移矩阵与稳态 ★★★

学习活动与产出

• 读（离屏 5 h）：OpenStax 8.6–8.8（参数方程、向量）、9.5–9.7（矩阵、逆矩阵）、10.1–10.3（椭圆、双曲线、抛物线）。
• 做（屏幕 5 h + 离屏 6 h）：微关；用 Desmos 做一个"旋转 + 缩放"复合变换演示；写一个两状态转移矩阵模型（例：小队成员每周"按时交作业 / 未交"的转移），迭代 10 周看是否趋于稳态。
• 产出：参数曲线手绘 4 张（标方向与 $t$ 范围）+ 矩阵变换演示链接 + 200 字转移矩阵小报告。

微关示例题

1. $x(t)=2t-1$，$y(t)=t^2$，$-1\le t\le 2$。消参并写出起点、终点与运动方向。 答案要点： $y={\left(\frac{x+1}{2}\right)}^2$；起点 $(-3,1)$、终点 $(3,4)$；$x$ 随 $t$ 递增，从左向右走。只写 $y$ 关于 $x$ 的式子而不标范围与方向不得分。
2. $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$，求 $\det A$ 与 $A^{-1}$。 答案要点： $\det A=6-5=1$；$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$。
3. 写出逆时针旋转 $90^{\circ }$ 的矩阵，并求它把 $(3,1)$ 变到哪里；$\vec{u}=⟨3,-4⟩$ 的模、单位向量与 $\vec{u}\cdot ⟨2,1⟩$。 答案要点： $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$，$(3,1)\mapsto (-1,3)$；$|\vec{u}|=5$，单位向量 $⟨\frac{3}{5},-\frac{4}{5}⟩$，点积 $6-4=2$。

易错与陷阱：消参后忘记标注方向与 $t$ 的取值范围；$2\times 2$ 矩阵乘法顺序写反（先作用的变换写在右边）。

AI 导师用法

你是我的线性变换教练，只提示不给答案。给我 5 对 2×2 矩阵 A、B（旋转、缩放、反射、剪切混合），
每对问"先做 A 再做 B 的复合变换矩阵是什么，把点 (1, 2) 变到哪里"。
我作答后只告诉我对错；错了就问我"先作用的矩阵应该乘在点的哪一侧"，不要给出矩阵结果。

🚪 Unit 4 闸门（选学者适用）：闭卷限时 45 分钟 18 题全对（平台闸门题库本单元正好 18 题：8 选择 + 6 简答 + 1 数值 + 3 道 FRQ） + 费曼讲解 2 分钟 "为什么复合变换等于矩阵乘法、顺序不能交换"；规则同前。

5. FRQ / 作品任务专训

本科目没有作品任务；Section II 是四道纸答 FRQ，合计 37.5%（两部分各 18.75%）。辅锚作品是 Unit 3 的正弦建模报告（公开发布）。

四道题的固定题型

2026-27 更新的具体内容（2026-10 核实；apcentral.collegeboard.org 的 CED Clarifications and Corrections）： FRQ Part A、Part B 时长各由 30 分钟改为 35 分钟；Question 2 的结构更新——CED 样题 Q2 删去了 Part B (iii)，并修改 Part C 以扩大考查范围，评分标准相应更新；Question 1 样题只在 Part C (i) 作了小改动，评分标准不变。四道题的题型名称与计算器安排不变。练 Q2 时以新版 CED 样题为准，2024–2026 年真题的 Q2 结构与 2027 年略有不同。

评分怎么给、怎么写

• 每问分"答案"与"理由"两层采分；只给数字常丢一半分。理由必须是完整英文句子，含三件事：条件（在哪个区间 / 哪组数据）、依据（变化率、残差、周期特征）、结论。
• 计算器题：写出回归模型时参数保留至少三位小数；中间值不提前四舍五入，最后一步再取三位。
• 建模题四步缺一不可：选模型并说为什么 → 写表达式 → 求值（带单位）→ 解释或评判（残差、定义域、情境合理性）。
• Q4 无计算器：写精确值（$\frac{\pi }{6}$、$\ln 5$），不写小数；三角方程写全区间内所有解。

常用说理句（抄进错题本首页，每周默写一次）

Because the average rates of change of f over consecutive equal-length intervals are increasing, f is concave up on (a, b).
Because the output values change by a common ratio over equal-length input intervals, an exponential model is appropriate.
The linear model is not appropriate because the residual plot shows a clear curved pattern.
h(5) ≈ 32.419 means that 5 hours after midnight, the depth of the water is about 32.419 feet.
On (π/4, π/2), r is positive and decreasing, so the distance between the point and the origin is decreasing.

每周篇数与节奏

AI 批改的边界与真人复核频率

• 可以交给 AI（L3）：按官方 scoring guidelines 把采分点列成清单、逐条判"得 / 不得"、检查参数位数与中间四舍五入、检查三角方程解的个数。
• 不能交给 AI：判断你的英文理由句"在阅卷人眼里够不够"。AI 倾向于顺着你的意思宽松给分——这是本课 AI 批改最大的失真点。
• 必须真人的环节：① 每月至少 1 套完整 FRQ 手写稿送志愿导师或付费数学老师（新加坡私教市价未核实，按家庭预算定），重点看理由句和建模第四步；② 每次单元闸门的费曼讲解要有真人听众；③ 冲刺期的全真 #3 由家长或小队队长全程见证。
• 小队互评（每周）：交换手写稿，按官方评分标准互相打分，分歧处回原文 scoring guidelines 判定；互评意见公开，队长轮值。

FRQ 自评表示例（Q2 非周期建模；采分点为示意，以当年评分标准为准）

6. 模考与毕业闸门

• 平台毕业模考蓝图题：questions.json 中 level: final 共 26 题（22 选择 + 4 道 FRQ，分别对应 Q1 函数概念、Q2 非周期建模、Q3 周期建模、Q4 符号操作；选择题 16 道无计算器、6 道计算器），单元分配 U1 9 题 / U2 8 题 / U3 9 题（约 35% / 31% / 35%，落在官方占比区间内）。用法：全真 #1 前一周做一遍作诊断，或在全真模考中替换已做过的 MCQ；不替代官方 FRQ，正式毕业闸门仍以官方真题为准。
• 🎓 科目毕业测试 = 全真 #3（或其后的换卷重测）综合得分 ≥ 85%（相当于稳 5 分）。未达线 → 按"错题 → 知识点编号"对照表回炉后重测；不达线不得进入 AP-1.2 Calculus AB / AP-1.3 Calculus BC。
• 官方真题分配原则：本科目官方 FRQ 从 2024 年才有，套数极少，全部留给全真模考；单元训练一律用 CED 样题与平台题。旧年份真题按旧结构出题，模考时按 2027 结构的时长重新计时（MCQ 65 + 40 分钟，FRQ 35 + 35 分钟）。
• 录屏与见证：每场全真模考全程录屏（桌面 + 计时器 + 纸面），FRQ 在方格纸上作答后拍照；家长或小队队长线上同屏见证，无见证的成绩不计入闸门。
• 冷却规则：任何闸门或模考不过 → 冷却 48 小时，只做错题对应知识点的重学与备用变式；48 小时后换卷。同一闸门两次不过 → 本单元重学（Unit 1、2 各 1 周，Unit 3 1.5 周）后第三次考。

7. 报名与考务（新加坡社会考生）

没有 AP 协调员，就没有人替你盯日期。 本科目在 Year 1 考：入学才两个月就要缴费。本节为 2026-10 核实口径；日期、费用与退改规则由考点自定，以考点当年页面为准，每年 8 月复审。今天（2026-10-24）距 Prometric Singapore 第一期截止（11-06 11:30）只剩约两周——本年要考的学生现在就要按第 6 节"进度门槛"做决定。

Prometric 报名步骤（R2 / AP-4.1 收口核实的 Prometric "Schedule and Pay with Prometric" 流程，2027 年细节以页面为准）：

1. 注册 College Board 账号，法定姓名与出生日期必须与考试当天出示的证件完全一致。
2. 用考点页面公布的本科目 join code 在 My AP 加入 exam-only section，拿到 AP ID（加入后即可在 AP Classroom 看 AP Daily 视频）。
3. 进入 Prometric 预约系统：Eligibility Number 填 AP ID，再填姓氏前 4 个字母 → 勾选科目 → 城市填 Singapore → 选日期与场次 → 填个人资料 → 核对 → 在线付款（需家长持卡）。
4. 保存确认邮件；4 月看考场通知；考前按通知在自带设备上装好 Bluebook 并完成 exam setup。

证件。 所有考生都可用有效护照；新加坡公民 / 永久居民可用 NRIC，学生可用 MOE 学生证（口径来自同日 AP-4.1 收口核对的 Prometric 新加坡页面；本轮检索未再现原文，报名前核对）；必须是未过期原件，不收复印件或电子版。持学生准证（Student's Pass）的外国学生一律带护照最稳妥。

设备与考场规则。

• 本科目为混合数字化：Section I 的 42 道 MCQ 在 Bluebook 作答；Section II 的 4 道 FRQ 在 Bluebook 看题、手写在纸质答题册上，按题号作答（2026-10 核实；apcentral.collegeboard.org）。
• 自带设备：2026 考季新加坡两家考点都要求自带笔记本或平板（续航约 4 小时，R2 口径；USEIC 2026 页面亦写明自带装好最新 Bluebook 的设备）；2027 考季设备要求未核实，以考点 4 月通知与 College Board 的 Bluebook 设备要求为准。3 月做一次完整设备体检（电池、系统更新、Bluebook 练习考 + 内置 Desmos）。
• 计算器：Section I Part B 与 Section II Part A 必须用图形计算器——Bluebook 内置 Desmos 即可，不必买；也可另带最多 2 台 College Board 许可清单内的手持图形计算器，不得共用；Section I Part A 与 Section II Part B 禁用计算器（2026-10 核实；apstudents.collegeboard.org 计算器政策页、apcentral 本科目图形计算器页）。新加坡学校常用的科学计算器不是图形计算器。
• 不提供公式表；不需要耳麦；无 Digital Portfolio 组件。用笔要求以当年考试须知为准（未核实）。

时间线（2027 考季，自己盯）。

• 9 月：第 1 周诊断；确定本年 AP 组合（伽利略层 = Precalc + CSP 或 Python 路线）；9/1 Prometric 第一期开放。
• 10 月：衔接第二次闸门后决定是否报名；在考试用设备上装 Bluebook 跑一次练习考。
• 11 月：11/6 11:30 Prometric 第一期截止（价格最低）；11/18 第二期开放。缴费依据是第 6 节的"进度门槛"。同月是 AMC 10/12 考期，见第 10 节第 9 条。
• 12 月：阶段模考 ≥ 70%。
• 3 月：设备体检（Bluebook + 内置 Desmos）；3/5 11:30 Prometric 第二期截止（每科贵 US$42）。
• 4 月：看考场通知；全真 #2、#3。
• 5 月：两周常规考期 5 月 3–7 日、10–14 日，补考期 5 月 17–21 日；AP Precalculus 为 2027-05-11（周二）Session 1，Prometric 新加坡 09:00 开考（2026-10 核实）。同年连修 Calculus AB 者注意 AB 在前一天 5/10（周一）。
• 6 月：2027-06-20（周日）美东时间 23:59 前在 College Board 账户指定免费送分院校；取消送分申请截止 6/15（2026-10 核实；apstudents.collegeboard.org 日历、apcentral 2026-27 关键日期页）。7 月：出分。

费用对照。 College Board 定价：美国境内 US$99/科、美国境外学校 US$129/科（2026-27；2026-10 核实：apstudents.collegeboard.org）；授权考点另加组织与监考成本，所以新加坡社会考生实付的是考点价（Prometric US$251 起，USEIC 2026 考季 SGD 475 起）。

年龄与身份。 AP 考试本身未设年龄门槛（未核实，以当年报名规则为准）；College Board 账号由未成年人注册时须家长知情；付款需家长持卡。

若身在中国大陆或香港：可走 Prometric 中国社会考生通道（2027 考季须知列有本科目，每科 ¥1,525；2026-10 核实：prometric.com.cn）或香港考评局（HKEAA，2027 窗口未核实），细节以当年官网为准。

8. AI 使用规范

默认级别 L3（可协作但须标注）。分环节：

三个提示词模板（可直接复制）

① 讲解模板

你是我的 AP Precalculus 导师。规则：只提示不给答案；在我说"给答案"之前不得写出最终数值、表达式或完整理由句。
我卡在知识点 <填 PC-x.y 编码> 的这一步：<粘贴题目、我的草稿与我想到的最后一步>。
请按顺序做三件事：1) 用一个问题确认我卡在哪一步；2) 给我一个更简单的同类例子让我自己做；
3) 我做完后，你只判断对错并决定给下一个提示还是让我回原题。全程使用弧度制。

② 出题模板

你是我的 AP Precalculus 出题官。按 CED 知识点 <填编码> 出 10 道题：6 道无计算器、2 道需要图形计算器（回归或交点法）、
2 道要求用完整英文句子说明理由。每题标注知识点编码与是否允许计算器。
不得出现微积分记号（导数、积分），不得出现 Unit 4 内容（除非我指定 PC-4.x）。
先只给题目；我逐题作答后，你每题只回"对/错 + 一句指向错因的提示"，全部答完再统一讲解。

③ 批改模板

你是 AP Precalculus 的评分员。下面是官方 FRQ 题干、官方 scoring guidelines 与我的手写答案（已转成文字）。
1) 先把本题的采分点列成"应当出现的书面动作"清单，分"答案分"与"理由分"两栏；
2) 逐条只判"得分 / 不得分"，不得替我改写；
3) 单列"格式检查"：回归参数是否 ≥ 3 位小数、是否提前四舍五入、三角方程解是否齐全、是否带单位；
4) 对不得分项各给一句提示，指向题干里我没照做的那句话。我改完发第二版，你重评。

四层反馈在本课的落点

禁止项与诚信

• 未满 18 岁以本平台 AI 1v1 导师为主；Claude 账号须年满 18 岁；ChatGPT 须年满 13 岁、未满 18 岁需家长同意；其他通用 AI 按各自条款，使用须家长知情。不买"拼车号 / 代充号"，不借用他人账号。
• 闸门与模考期间使用 AI，该次成绩作废，冷却 48 小时后换卷重考。
• AI 生成的"模拟真题"只用于日常练习，不得用于毕业模考；AI 给的数值结果一律用 Desmos 复核（AI 常算错三角方程的解的个数）。

9. 全年周计划

第 1 周锚定为考季学年 9 月的第一个周一（2026-27 考季即 2026-09-07）。周计划里的"PC-x.y"可直接换成第 4 节列出的课时文件：每课按讲义正文 → 例题 → 微关全对的顺序完成，一般 1 课 = 1 个学习日（60–90 分钟屏幕 + 离屏练习）。默认路线 = 伽利略层、诊断 5–7 题：先 6 周数学衔接（每周 6 小时），第 7 周起 Precalc 本体（每周 5–7 小时）。

与三年课表的对应。 本课排在 Year 1，与 CSP（或 Python 项目路线）并行，同年只考这两门 AP。注意：Prometric Singapore 声明"大多数需要额外设备或含作品集部分的科目不提供"，2025 年考试表列有 CSP（_SG_CONTEXT 口径），2027 考季是否开 CSP 须向考点逐科确认（未核实）；若不开，Year 1 改走"Precalc + Python 项目路线"，由总纲 2.4 节规则决定。同学期的模块：秋季 M-00 自学操作系统与 T3 AI 素养；冬季 T4 数学思维（2026-18 概率有多大 + 2026-74 AMC 10/12 备考，后者直接用到 Unit 2–3）。Year 2 的中华文化模块里有七门把本课列为关联 AP：2027-32《九章算术》探秘（方程组与矩阵，接 Unit 4）、2027-26 黄钟大吕（十二平均律的频率比 $2^{1/12}$ 是指数函数，声音是正弦波）、2027-30 观象台与 2027-82 做一回郭守敬（日影长度的周期建模，接 PC-3.7）、2027-84 河图洛书与幻方、2027-33 中国剩余定理、2027-34 算盘与算筹。

三层速度的调整。

• 牛顿层（数学诊断 < 70%）：Year 1 不考本科目，衔接延长到 10 周；Year 2 按 30 周走，每月真人反馈 2 次。
• 伽利略层：按上表执行。
• 爱因斯坦层（诊断 ≥ 8/10 且第 3、7 题全对）：跳过衔接，第 3 周开 Unit 1，Unit 1–2 微关每点 8 题，Unit 3 在第 25 周左右完成，第 26–29 周学 Unit 4 并提前做 FRQ 专项；学有余力按总纲 Year 1 再加一门 AP（如 Micro），或直接改走 Calc AB。

10. 本科目的"不知道的不知道"（8–12 条）

1. 本科目 2024 年 5 月才首考，官方公开的 FRQ 只有 2024 年以来的几套；而 2027 年起选择题改为 42 题、各部分时长调整、FRQ 第 2 题结构更新（第 1 题样题只有小改）。 —— 会踩是因为"真题刷十年"的习惯在这里行不通：开学就把 2024、2025 的 FRQ 做掉当练习，4 月就没有官方题做毕业模考；或者按旧结构计时，以为时间够。对策：官方 FRQ 全部封存到全真模考（附录 B）；单元训练只用 CED 样题与平台题；模考一律按 2027 结构重新计时（MCQ 65 + 40 分钟、FRQ 35 + 35 分钟）。
2. 考试里的"凹凸"用"等长区间上平均变化率递增 / 递减"来论证，而不是二阶导数。 —— 会踩是因为学过导数或提前看了微积分的学生会写"$f^{\prime \prime }>0$ 所以上凹"：读表题根本给不出导数，这种写法能否拿理由分以当年评分标准为准（未核实）。对策：理由句一律用课程内语言（average rates of change over consecutive equal-length intervals），第 5 节的 5 条句式每周默写一次。
3. 中国教材的"凹函数 / 凸函数"叫法与英文 concave up / concave down 不能直接对译，不同版本的教材甚至说法相反。 —— 会踩是因为你脑子里的"凸"在答卷上译成哪个词、选择题干里的 concave down 读成什么，全凭记忆，一半概率反过来。对策：全程只用英文原词，笔记里也不写"凹 / 凸"；桌前贴一张"开口向上的弧 = concave up"的图。
4. AP 的正弦型写法是 $a\sin (b(x-c))+d$，水平平移量是 $c$；中国教材写法 $A\sin (\omega x+\phi )$ 里的 $\phi$ 不是平移量。 —— 会踩是因为把 $\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ 习惯性读成"左移 $\frac{\pi }{3}$"，Q3 由数据写表达式时相移全错。对策：任何正弦式先提出 $b$ 化成 $b(x-c)$ 再读 $c$：$\sin (2x+\frac{\pi }{3})=\sin \left(2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\right)$，左移 $\frac{\pi }{6}$。
5. Part B 选择题与 FRQ Part A 是"必须用"计算器，不是"可以用"：回归参数、交点数值解手算不出来。 —— 会踩是因为中国学生手算强，平时不碰 Desmos，考场第一次敲回归语法，一题耗掉 8 分钟。对策：第 11 周前把五项计算器操作练到每项 1 分钟内；3 月设备体检时在 Bluebook 练习考的内置 Desmos 里全部重做一遍。
6. 正弦回归对初值敏感，可能给出"拟合度很高但周期明显不对"的参数（是否发生取决于数据与初值）。 —— 会踩是因为直接抄回归结果，12 个月周期的气温数据拟合出 2 个月周期的曲线也不察觉。对策：先用"最大 / 最小 / 周期"手算四参数作检查基准，回归后逐项对照；不一致就改初值重做，并在答卷上写出周期的情境依据。
7. 计算器题的终值要精确到三位小数，中间值一旦提前四舍五入，终值就可能落在容差外。 —— 会踩是因为中国课堂习惯"每步保留两位"，而这里一道建模题要连用三四个中间量。对策：中间量存在计算器变量里或保留 6 位以上，只在最后一步取三位；自评表单列一项"是否提前取整"。
8. Unit 4 官方不考，却在 CED、Khan、AP Videos 里占整整一个单元。 —— 会踩是因为按资源的单元顺序学，3 月还在学矩阵才发现不考；或者反过来完全跳过，Year 2 学 BC 第 9 单元时没有参数与向量基础。对策：默认把 Unit 4 放到 5 月考后 4 周；目标走 AP-1.3 BC 的学生考后必须学完并过 Unit 4 闸门。
9. AMC 10/12 每年 11 月举行，而课程把 AMC 备考模块（2026-74）排在 Year 1 冬季：Year 1 的 11 月你既没备考，又正处在 Unit 1 与 AP 缴费的关口。 —— 会踩是因为想"多一个外部锚"就在 Year 1 秋天仓促报名，打乱 Unit 1 节奏。对策：Year 1 的 AMC 只作体验（不额外备考、不占 Precalc 时间）或不报；认真的一次放在 Year 2 的 11 月。2026 年 AMC 10A/12A 为 11 月 5 日、10B/12B 为 11 月 13 日；AMC 10 限 10 年级及以下且未满 17.5 岁，AMC 12 限 12 年级及以下且未满 19.5 岁（2026-10 核实；maa.org，经检索摘要）。新加坡的报名渠道（学校或授权机构）与费用未核实，由家长开学前核对。
10. 新加坡考点是"自带设备 + 屏幕看题 + 纸上答 FRQ"的混合形式，而你在家练的多半是纸卷或全屏幕。 —— 会踩是因为视线在屏幕与答题册之间来回、建模题还要把屏幕上的数据表抄到纸上，这些时间在家里从没算过；自带设备没电、系统更新卡住或 Bluebook 未完成 exam setup，当场无人替你解决。对策：从 Unit 2 起所有 FRQ 练习都用"屏幕看题 + 方格纸作答"，模考把"抄数据"计入时间；全真 #2、#3 就用考试那台设备、插电以外的电池续航完成。
11. "有基础"只能压缩 Unit 1–2 和 Unit 3 前半：残差（PC-2.6）、半对数图（PC-2.15）、正弦回归（PC-3.7）、极坐标（PC-3.13–3.15）在中国高一课本与新加坡 A-Math 里基本见不到（取决于教材版本）。 —— 会踩是因为学过函数与三角的学生按"复习"速度推进，到这几组知识点才发现是全新内容，时间却已被压缩掉。对策：这四组知识点在周计划里锁定原时长，诊断再好也不跳。
12. 总纲规定"Precalc 可被 Calc AB 覆盖"，而 Precalculus 的大学学分认可远不如微积分普遍（各校政策未核实）。 —— 会踩是因为数学强的学生为了"多一门 AP"先考 Precalc 再考 AB，占掉 Year 1 一个名额；2027 年 AB（5/10 周一）与 Precalc（5/11 周二）还是连续两天（2026-10 核实；AP 官方 2027 考试日程）。对策：诊断 > 90% 且学过导数者直接走 Calc AB；本课的价值定位是"Year 1 外部锚 + 英文 FRQ 书写训练 + 微积分前置"，不是学分。

11. 学完之后

• 直接衔接的 AP：Year 2 的 AP-1.2 Calculus AB（软件 / AI、网安 / IT、数据 / 商业方向）或 AP-1.3 Calculus BC（科学 / 工程方向）；Year 1 夏季先做 Calc AB Unit 1–3 预习。本课与微积分的对应：平均变化率与"变化率的变化率" → 导数与凹凸（AB Unit 2、5）；端点行为、渐近线、$\lim$ 记号 → 极限与连续（AB Unit 1）；指对与 $e$ → $e^x$、$\ln x$ 的求导积分与指数微分方程（AB Unit 2、7）；正弦族、恒等式、反三角 → 三角求导积分（AB Unit 2–3）；极坐标、参数、向量 → BC Unit 9。
• 横向衔接：Unit 2 的回归与残差和 AP-1.4 Statistics 互通，可同修；Unit 4 的向量与参数方程直通 AP 物理 C 与线性代数。
• 大学学分：各校对 AP Precalculus 的学分政策差别大、给学分的不多（未核实，以各校 AP credit policy 为准）。本科目的主要价值是外部锚与微积分前置。
• 方向模块：Year 2 的 2027-32、2027-26、2027-30、2027-82、2027-84、2027-33、2027-34（见第 9 节）；数学竞赛线接 2026-74 AMC 10/12 备考（Year 2 的 11 月实考），强者由 AMC 12 冲 AIME。
• 作品升级路径：把 Unit 3 的正弦建模报告扩展成"5 个城市气温的周期建模对比"，在 Year 1 B 线用 Python 重做回归与残差图，代码和报告一起发到作品集网站与 GitHub；README 写清数据来源、模型、参数、残差结论与"模型在哪里失效"。

附录 A · 知识点编码总表（按单元，全部编码 + ★ 级）

"主要出现在"一列按源包的 FRQ 题型表推断，仅作复习分配参考。

计算器五项必会操作（Part B 与 FRQ Part A 的命根子，第 11 周前过关）

附录 B · 官方真题与样题清单（可得年份、题型、用途分配）

来源：AP Central 的 past-exam-questions 页（/courses/ap-precalculus/exam/past-exam-questions），提供 FRQ + scoring guidelines + 学生样卷 + 分数分布，免费、无需账号。本科目 2024 年首考，目前可得 2024、2025、2026 三年 FRQ 与评分标准；样卷与分数分布列出 2024、2025 两年（2026-10 核实；apcentral.collegeboard.org）。选择题官方不公开；AP Classroom 的 Practice Exam 与 Progress Check 需教师布置，exam-only 学生不可用。

MCQ 题源（官方不公开真题，只能拼）

附录 C · 术语表（中英对照）

下表为核心术语速查；课件版完整术语表（304 条，含定义、知识点编码与所属课时）见 glossary.json。

附录 D · 版本与核验记录

2026-10-24 新加坡口径收口核实记录

读者改为在新加坡的中文母语学生（_SG_CONTEXT.md）。本轮联网检索与页面读取共 25 次。"成功"= 查到可靠来源并已标注；"改正"= 与原文不同，已按来源改写；"仍未核实"= 查不到可靠来源，保留标注。Prometric 新加坡页面对脚本返回 403，相关条目依据搜索引擎索引的该页内容，报名前须亲自打开核对。

已删除的大陆口径内容： 大陆 Prometric / HKEAA 报名表与时间线（只在第 7 节末留一句补充）、GreatFire 可达性标签与"国内替代"、国家中小学智慧教育平台、国内大模型推荐、人民币预算。上一轮记录中的大陆口径条目（原 #8–#12、#14、#17、#18、#21、#22）已删去；原 #23（Ultimate Review Packet）、#29（送分截止）由本轮 S15、S16 取代。

2026-10 联网核实记录（课件版修订，上一轮；只保留仍适用的条目）

核实方式：联网检索与官方页面读取（共约 28 次查询）。"成功"= 查到可靠来源并已去掉"未核实"；"改正"= 来源与原文不同，已按来源改写；"仍未核实"= 查不到可靠来源，保留标注。

与讲义一致性的修正（本版）： ① 等比数列记号改为 CED 的 $g_n=g_0{r}^n$（与 U2-L01 一致）；② 正弦型函数写法注明 CED 的 $b(\theta +c)$ 约定（与 U3-L05 一致，讲义该处"未核实"已据 CED 改为已核实）；③ 补入 2026-27 CED 对增减区间开闭、限制定义域端点极值、极坐标距离增减的澄清（U1-L01 端点开闭一处同步改为已核实）；④ 单元闸门的题量说明与平台闸门题库（U1 19 / U2 20 / U3 20 / U4 18 题）对齐，并写明计算器题的补足来源。